¿Cuáles son algunos ejemplos de infinitas dimensiones espacios vectoriales?

Question

Me gustaría tener algunos ejemplos de las infinitas dimensiones de espacios vectoriales, que me ayudan a romper el hábito de pensar de $R^n$ cuando se piensa acerca de los espacios vectoriales.

Answer 1

1. $\Bbb R[x]$, los polinomios en una variable.
2. Todas las funciones continuas de $\Bbb R$ a sí mismo.
3. Todas las funciones diferenciables de $\Bbb R$ a sí mismo. En general podemos hablar de otras familias de funciones, cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar.
4. Todas las secuencias infinitas $\Bbb R$.

Y muchos, muchos otros.

Answer 2

1. El espacio de funciones continuas de soporte compacto en un localmente compacto espacio, decir $\mathbb{R}$.
2. El espacio de forma compacta compatible suave funciones en $\mathbb{R}^{n}$.
3. El espacio de la plaza de summable secuencias complejas, comúnmente conocido como"$l_{2}$. Este es el prototipo de todos separables espacios de Hilbert.
4. El espacio de todas las secuencias delimitadas.
5. El conjunto de todos los operadores lineales en un infinito dimensional espacio vectorial.
6. El espacio de $L^{p}(X)$ donde $(X, \mu)$ es una medida de espacio.
7. El conjunto de todos Schwartz funciones.

Estos espacios tienen una considerable estructura más que un espacio vectorial, en particular, que puede ser dado alguna norma (en el tercer caso, un producto interior también). Todos ellos caen bajo el paraguas de la función de los espacios.

Answer 3

Los dos ejemplos que me gustan son estos:

1) $\mathbb{R}[x]$, el conjunto de polinomios en $x$ con coeficientes reales. Esta es infinito dimensional debido a $\{x^n:n\in\mathbb{N}\}$ es un grupo independiente, y de hecho es una base.

2) $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})$, el conjunto de real continua de las funciones con valores en $\mathbb{R}$. Aquí no hay ninguna base obvia en absoluto. Esto también tiene un montón de interesantes subespacios, algunos de los cuales Hagen ha mencionado.

Answer 4

Creo que los siguientes dos ejemplos son bastante útiles:

Para cualquier campo $F$,

• el conjunto $F^{\mathbb N}$ de todas las secuencias más $F$ y
• el conjunto de todas las secuencias más $F$ con finito de apoyo

se $F$-espacios vectoriales.

Tenga en cuenta que la unidad de vectores forman una base del segundo espacio vectorial, pero no de la primera.

Answer 5

Pensar en función de los espacios, tales como la continua ni derivable o funciones analíticas en un intervalo.