Que $N$ ser una $2× 2$ matriz compleja tal que $N^2=0$. Cómo podía mostrar $N=0$ $N$ es similar sobre la matriz.

Question

Que $N$ ser una $2× 2$ matriz compleja tal que $N^2=0$. Cómo podía mostrar que $N=0$ $N$ es similar en $\mathbb{C}$\begin{bmatrix}0 & 0\1 & 0\end{bmatrix}

Answer 1

Que $J=\begin{bmatrix}0 & 0\1 & 0\end{bmatrix}$. Cuando $N\not=0$, existe un vector distinto de cero $x$ tal que $Nx\not=0$. Claramente $x$ y $Nx$ son linealmente independientes, de lo contrario $Nx=cx$ $c\neq0$ y en vuelta $0=N^2x=N(Nx)=cNx\neq0$, que es una contradicción. Por lo tanto $P=(x,Nx)$ es invertible. Ahora puede verificar que $NP=(Nx,N^2x)=(Nx,0)=PJ$. Así, $N=PJP^{-1}$.

Answer 2

Elemental, asumir %#% $ #%

Entonces $$N = \begin{bmatrix}a & b\c & d\end{bmatrix} $ $

Ahora si $$0=N^2 = \begin{bmatrix}a^2+bc & b(a+d)\c(a+d) & d^2+bc\end{bmatrix} $, obtendrá $ $b=0$de % que $$0=N^2 = \begin{bmatrix}a^2 & 0\c(a+d) & d^2\end{bmatrix} $ y el resultado sigue.

De lo contrario, debe concluir $a=d=0$ % que $a=-d$$ lo que $$0=N^2 = \begin{bmatrix}a^2+bc & 0\0 & a^2+bc\end{bmatrix} $ por lo que la matriz original es $c=-\frac{a^2}{b}$ $ y luego observar que $$\begin{bmatrix}0 & 1\\frac{1}{b} & -\frac{a}{b}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 0\1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b\1 & 0\end{bmatrix} = N$ $

Answer 3

Usar la normalform Jordan y escribir tu matriz como $D+M$ $D$ es una matriz diagonal donde y $M$ es una matriz nilpotente. Tan sólo hay 2 casos para revisar.

$$N^2=(D+M)^2 = D^2 + DM+ MD+ M^2$ $ $DM=MD$ Y $M^2=0$ $M$ %#% nilpotet #% matriz tenemos: %#% $ $2 \times 2$ #% al tener sólo ceros en la diagonal sabemos que $$N^2=D^2+ 2 MD$ (otro $MD$). Como vimos en la Jordan Normalform necesitamos comprobar dos casos. La primera es $D=0$ $ el segundo es $D^2 \neq 0$ $