A priori, $D(P) = \operatorname{Hom}_K(P,K)$ admite que la estructura de un derecho $A$-módulo a través de
$$
(f \cdot a)(p) := f(a \cdot p), \quad f \D(P), \; a \a, \; p \en P.
$$
Desde $A$ admite que el $K$-álgebra anti-automorphism $A \mapsto A^T$, además puede darse cuenta de $D(P)$ como izquierda $A$-módulo a través de
$$
(a \cdot f)(p) := f(a^T \cdot p), \quad f \D(P), \; a \a, \; p \P;
$$
Yo reclamo que ${}_A D(P) \cong {}_A P$.
Para probar esto, primero identifique ${}_A D(P)$ ${}_A (e_1 A)$ donde $e_1 A$ está dotado de la izquierda $A$-estructura del módulo
$$
a \cdot (e_1 b) := e_1 b a^T, \quad a,b \in A,
$$
y donde la doble vinculación entre el $e_1 A \cong D(P)$ $P = A e_1$ está dado por
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\left\langle e_1 a, b e_1 \right\rangle := e_1 a b e_1 \en e_1 Un e_1 = K e_1 \cong K, \quad a,b\in A.
$$
Entonces, la transposición $e_1 a \mapsto (e_1 a)^T = a^T e_1$ los rendimientos de la necesaria isomorfismo ${}_A e_1 A \cong {}_A P$.
Si lo prefiere, también se puede observar que ${}_A P \cong {}_A K^2$, y, por tanto,${}_A D(P) \cong {}_A (K^2)^\ast \cong {}_A K^2$, donde el isomorfismo ${}_A (K^2)^\ast \cong {}_A K^2$ es de nuevo sólo transposición, teniendo vectores fila en $(K^2)^\ast$ a los vectores columna de a $K^2$.
