Determinar si el conjunto de vectores es linealmente dependiente o no

Question

Supongamos que los vectores $\underline{a}_1, \underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_k$$\underline{b} \neq 0$$\mathbf{R}^n$. También, $\underline{a}_1 \neq \underline{a}_2 \neq \ldots\neq \underline{a}_k$.

Decir que la ecuación de $x_1 \underline{a}_1 + \ldots + x_k \underline{a}_k = \underline{b}$ tiene un número infinito de soluciones.

Es cierto que el conjunto de $\{\underline{a}_1, \underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_k\}$ es linealmente dependiente?

Me siento como el conjunto de hecho es linealmente dependiente, pero no puedo demostrarlo. He aquí mi razonamiento: si la ecuación dada tiene una infinidad de soluciones, entonces la matriz de coeficientes del sistema (en su reducida escalonada) tiene algunas variables libres en ella. Si los vectores se linealmente independientes, la matriz he tenido ningún variables libres. Por lo tanto los vectores son linealmente dependientes.

Answer 1

Sería suficiente para tener dos soluciones diferentes $x_1 \underline{a}_1 + \ldots + x_k \underline{a}_k = \underline{b}$ y $y_1 \underline{a}_1 + \ldots + y_k \underline{a}_k = \underline{b}$. Si les restamos, obtenemos $(x_1-y_1) \underline{a}_1 + \ldots + (y_k-y_k) \underline{a}_k = \underline{0}$ y no todos los coeficientes $x_i-y_i$ son cero. Por lo tanto, los vectores son linealmente dependientes.