Ley de la conservación de la ecuación del calor en el dominio infinito

Question

Que %#% $ #%

y $$ u_{t}(x,t) = \Delta u(x,t) \space \space \space \text{ for } \space t \ge 0 \space \space\space\space , \space x \in \mathbb{R}^{n} $ $

Mostrar $$ u \rightarrow 0 \space \text{ as } \space ||x|| \rightarrow \infty $ $

Lo que he intentado hasta ahora es aplicar Lipschitz y el teorema de la divergencia en una esfera finita y luego intentar mostrar que el límite sale como cero. Esto funciona hasta la parte del límite, entonces me llego un poco atascado. Tal vez me estoy perdiendo algo obvio.

Gracias por los consejos/consejos que puede proporcionar!

EDIT: muy agradecido por las soluciones que proporciona

Answer 1

Dada las condiciones iniciales $u(x,0)$, se puede escribir la solución como una convolución en contra de la solución fundamental como

$$ u(x,t) = \int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}e^{-||x-x'||^2/4t}u(x',0)dx' $$

Se puede comprobar que este tipo de representación coincide con su condición de límite en el infinito. A continuación, la integración de más de x:

$$ \int_{\mathbb{R}^n} u(x,t)dx = \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}e^{-||x-x'||^2/4t}u(x',0)dx'dx $$

Si la condición inicial es bien educados lo suficiente, podemos cambiar el orden de integración: $$ \int_{\mathbb{R}^n} u(x,t)dx = \int_{\mathbb{R}^n}u(x',0)\left(\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}e^{-||x-x'||^2/4t}dx\right) dx' $$ El interior de la integral es la unidad, dejando $$ \int_{\mathbb{R}^n} u(x,t)dx = \int_{\mathbb{R}^n}u(x',0)dx' $$ La ecuación del calor "frotis" la condición inicial en el tiempo, pero conserva la totalidad de su integral como pasa el tiempo. Todo lo que queda es decidir qué es lo suficientemente regulares como para justificar el cambio del orden de integración.