Cómo encontrar el límite $\lim \limits_ {x \to+\infty} \left [ \frac{4 \ln(x+1)}{x}\right]$

Question

<blockquote> <p>Resolver $\space\begin{align*} \lim_ {x \to+\infty} \left [ \frac{4 \ln(x+1)}{x}\right] \end{align*} $.</p> </blockquote> <p>Lo hice de esta manera:</p> <p>$$\begin{align*} \lim_ {x \to+\infty} \left [ \frac{4 \ln(x+1)}{x}\right] & = 4\lim_ {x \to+\infty} \left [\frac{1}{x} \ln(x+1) \right]= \\\\=4\lim_ {x \to+\infty} \left [ \ln(x+1)^{\frac{1}{x}}\right] &= 4 \ln \left[\lim_ {x \to+\infty}(x+1)^{\frac{1}{x}}\right] =4 \cdot \ln(1)=0 \end{align*} $$</p> <p>¿Cuál es la regla detrás del cambio que hice entre la $\ln$ y $limit$?</p> <p>Estoy en la high School secundaria. Gracias</p>

Answer 1

Como se ha mencionado, desde el $\ln(x)$ es continua en a $x=1$, $$ \lim_{x\1}\ln(x)=\ln\left(\lim_{x\1}x\right)=\ln(1)=0\etiqueta{1} $$ Sin embargo, ¿cómo saber que $$ \lim_{x \+\infty}(x+1)^{\frac{1}{x}}=1\etiqueta{2} $$ Generalmente la forma de una muestra $(2)$ es probar el límite con el que comenzó; es decir, $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+x)}{x}\etiqueta{3} $$ Deje $x=e^t-1$, $(3)$ se convierte en $$ \lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^t-1}\etiqueta{4} $$ Deje $f(t)=\dfrac{t}{e^t-1}$. Entonces $$ \begin{align} \lim_{t\to\infty}\frac{f(t+1)}{f(t)} &=\lim_{t\to\infty}\frac{t+1}{t}\frac{e^t-1}{e^{t+1}-1}\\ &=\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac1t\right)\left(\frac{1-e^{-t}}{e-e^{-t}}\right)\\ &=\frac1e\tag{5} \end{align} $$ Límite de $(5)$ dice que para algunos $T$, cuando $t\ge T$, $\dfrac{f(t+1)}{f(t)}<\dfrac12$. Por lo tanto, desde el $f$ es continua en a $[T,T+1]$, hay algunos $C$, de modo que $$ f(t)<C2^{-t}\etiqueta{6} $$ Por lo tanto, $$ 0\le\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^t-1}\le\lim_{t\to\infty}C2^{-t}=0\tag{7} $$ y por lo tanto, por el Teorema del Sandwich, $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(1+x)}{x}=0$.

Answer 2

Es que el $\ln$ es una función continua .

Sin embargo, tengo un problema con su último paso. Usted tiene la forma indeterminada $\infty^0$. El límite es de esos casos no siempre es $1$. Uno de los casos más simples donde que no es el $$ \lim_{x\to\infty} \left ((x+1)^{1/\ln(x+1)} \right) = e. $$

Answer 3

Yo lo llamaría la "regla de la cadena" o simplemente "continuidad" porque

$$\lim{x\to a} f\big(g(x)\big) =f\left(\lim{x\to a} \,g(x)\right) $$

siempre que los límites existen y es continua en un barrio de $f$ $\lim_{x\to a}g(x)$.

Answer 4

Use la regla de l'Hopital para mostrar que el límite es igual al límite de $$\frac{4}{x+1},$ $, que es simplemente cero.

Answer 5

Este intento es correcto, que puede acabar como color en rojo