No puedo encontrar la prueba de que usted está buscando en el libro de D. E. Taylor
que el ego sugerido en los comentarios. Pero usted puede utilizar las técnicas
de la sección "Reflexiones y el Fuerte Intercambio Condición" en las páginas
94-96 para una prueba (mi respuesta es independiente de la del libro, para las conexiones
ver el comentario al final).
En tu caso, tienes el $R = \{(1\;-1)\} \stackrel{.}{\taza}
\{i\;i+1)(-i\;-i-1) \a mediados de i \in [n-1]\}$ de involuciones la generación de la
Coxeter grupo $W = \langle R\rangle$, que es un subgrupo de la simétrico
grupo en $[n] \cup -[n]$ (usando la notación $[n] := \{1, \dots, n\}$).
Para el conjunto de $T = \{wrw^{-1} \mid w \in W, r \in R\}$ de todos los conjugados de
la generación de involuciones en $R$ (definido en la ecuación (9.20) del libro)
debe ser capaz de comprobar
$T = T_1 \stackrel{.}{\cup} T_2 \stackrel{.}{\cup} T_3$
$$T_1 := \{(i\;-i)\mid i\in[n]\}$$
$$T_2 := \{(i\;j)(-i\;-j) \mid i, j \in [n], i<j\}$$
$$T_3 := \{(i\;-j)(-i\;j) \mid i, j \in [n], i<j\}$$
$T$ se compone de dos diferentes clases conjugacy:
$T_1$ son los conjugados de la $(1\;-1)$), y $T_2\stackrel{.}{\cup}T_3$ el
los conjugados de todos los otros elementos de la $R$.
$W$ actúa en $T$ por conjugación, lo que induce a una acción en el juego de poder
$\mathcal{P}(T)$ $T$ . Con la diferencia simétrica como la suma, la
poder establecer $\mathcal{P}(T)$ se convierte en una primaria abelian $2$-grupo, en
que $W$ actos. Definir
$D'(w) = D'_1(w) \stackrel{.}{\cup} D'_2(w) \stackrel{.}{\cup} D'_3(w)$
para $w \in W$ con
$$D'_1(w) = \{(i\;-i) \in T_1 \mid i\in [n] \mbox{ and } w(i)<0\}$$
$$D'_2(w) = \{(i\;j)(-i\; j) \en T_2 \mid i, j\in [n], i<j\mbox{ y }
w(i)>w(j)\}$$
$$D'_3(w) = \{(i\;-j)(-i\;j) \en T_3 \mid i, j\in [n], i<j\mbox{ y }
w(i)+w(j) < 0\}$$
La cardinalidad de a $D'(w)$ es sólo inv$(w)$ de su pregunta.
Reclamo:
(a) $D'(r) = \{r\}$ $r \in R$
(b) $D'(w_1w_2) = w_2^{-1}D'(w_1)w_2+D'(w_2)$ $w_1, w_2 \in W$
La primera afirmación se comprueba fácilmente, nos muestran el segundo:
Para esto, se observa que un elemento $(i\;-i)$ de la clase conjugacy $T_1$
está contenida en $D'(w)$ si y sólo si $\frac{w(i)}{i}<0$
$i \in [n]\cup-[n]$.
Ahora $(i\;-i) \in D'(w_1w_2)$ es igual a $0 > \frac{w_1(w_2(i))}{i} =
\frac{w_1(w_2(i))}{w_2(i)}\cdot \frac{w_2(i)}{i}$, que a su vez es
equivalentes a $ D'(w_1) \ni (w_2(i)\;-w_2(i)) = w_2(i\;-i)w_2^{-1}$
o $(i\;-i) \in D'(w_2)$, es decir, $(i\;-i) \in w_2^{-1}D'(w_1)w_2+D'(w_2)$.
Un elemento $(i\;j)(-i\;-j)$ de la clase conjugacy $T_2\cup T_3$, donde
$i, j\in [n]\cup -[n]$, $i\ne j$ y $i\ne -j$, está contenida en $D'(w)$
si y sólo si $\frac{w(j)-w(i)}{j-i}<0$ (verifique esto teniendo en cuenta la
dos casos $i\cdot j>0$ $i\cdot j<0$ y teniendo en cuenta lo que sucede
si reemplaza $i$$j$$-i$$-j$).
Por lo $(i\;j)(-i\;-j) \in D'(w_1w_2)$ es equivalente a
$0 > \frac{w_1(w_2(j))-w_1(w_2(i))}{j-i} =
\frac{w_1(w_2(j))-w_1(w_2(i))}{w_2(j)-w_2(i)}\cdot
\frac{w_2(j)-w_2(i)}{j-i}$, que es el mismo que
$(i\;j)(-i\;-j) \in w_2^{-1}D'(w_1)w_2+D'(w_2)$.
Después de haber demostrado la reclamación, uno puede fácilmente deducir la fórmula para la longitud de
inducción:
A causa de (a) podemos suponer que la $l(w) > 1$, y escribir $w = s\cdot v\cdot t$
con $s, t \in R$$l(v) = l(w)-2$. Por inducción
$|D'(v)|+1 = l(v)+1 = l(v\cdot t) = |D'(v\cdot t)| \stackrel{(b)}{=}
|tD'(v)t + D'(t)| \stackrel {()} {=} |tD'(v)t + \{t\}|$, i.e., $t \no\en D'(v)$.
Como $v\ne w = svt$ obtenemos $t \ne v^{-1}sv$, y por lo tanto
$t\no\in \{v^{-1}sv\} + D'(v) \stackrel {()} {=} v^{-1}D'(s)v + D'(v)
\stackrel{(b)}{=} D'(s\cdot v)$.
De ello se desprende $D'(w) \stackrel{(b)}{=} tD'(s\cdot v)t \stackrel{.}{\cup} \{t\}$ y
por lo tanto, la inducción de paso.
El reclamo es una variante de (9.22) en Taylor libro:
Para $D(w) := wD'(w)w^{-1}$ obtener $D(r) = r\{r\}r = \{r\}$ $r$ ha
orden de 2.
También $D(w_1w_2) = w_1D'(w_1)w_1^{-1}+w_1w_2D'(w_2)w_2^{-1}w_1^{-1} =
D(w_1)+w_1D(w_2)w_1^{-1}$ demostrando que D satisface (9.22).
Esta condición en $D$ es bastante potente. Taylor utiliza para derivar el fuerte
el intercambio de la propiedad (con el Corolario 9.26 lo que implica la fórmula para la longitud), y
que es equivalente a $(W, R)$ ser un Coxeter sistema.
