Expansiones de series de potencia

Question

El siguiente problema de valores iniciales tiene una solución única que es analítica en el origen. Hallar la expansión en serie de potencias $\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ de la solución determinando una recurrencia para los coeficientes $a_j$ .

a. $\begin{cases} \frac{d^2f}{dz^2}-z\frac{df}{dz}-f=0 \\ f(0)=1,\ f'(0)=0 \end{cases}$

b. $\begin{cases} \frac{d^2f}{dz^2}+4f=0 \\ f(0)=1,\ f'(0)=1 \end{cases}$

Mi intento:

Por un lado, sé que $f''=zf'+f \implies f''(0)=0\dot\ f'(0)+f(0)=0+1=1$ pero la respuesta es $$\sum^{\infty}_{j=0}\frac{1}{j!}(\frac{z^2}{2})^j=e^{z^2/2}$$

Answer 1

Es una buena idea empezar por $$ f''=zf'+f. $$ Esto da como resultado $$ \sum_{k\geq 2} k(k-1)a_kz^{k-2}=z\sum_{k\geq 1}ka_kz^{k-1}+\sum_{k\geq 0}a_kz^k $$ por lo que $$ \sum_{k\geq 0} (k+2)(k+1)a_{k+2}z^{k}=\sum_{k\geq 0}(k+1)a_kz^{k}. $$ Igualando los coeficientes, obtenemos $$ (k+2)(k+1)a_{k+2}=(k+1)a_k\quad\Rightarrow\quad a_{k+2}=\frac{a_k}{k+2} \text{or}\ a_k=a_{k+2}(k+2) $$ y las condiciones iniciales dan como resultado $$ a_0=1\qquad a_1=0. $$ Por inducción, se deduce fácilmente que $a_{2k+1}=0$ para todos $k\geq 0$ . Ahora $$ a_{2k+2}=\frac{a_{2k}}{2k+2}=\frac{a_{2k}}{2(k+1)}. $$ Además, otra inducción de las condiciones iniciales y de $a_{k+2}=\frac{a_k}{k+2}$ muestra que $$ a_{2k}=\frac{1}{2^kk!} $$ Por lo tanto, $$ \sum_{k\geq 0}a_kz^k=\sum_{k\geq 0}\frac{z^{2k}}{2^kk!}=\sum_{k\geq 0}\frac{(z^2/2)^{k}}{k!}=e^{z^2/2}. $$

Observación: así, la serie de potencias $f$ tiene un radio de convergencia infinito. Retrocediendo, lo que hemos hecho muestra que $f$ es una solución de la EDO en $\mathbb{R}$ .

Answer 2

Supongamos que $$f=\sum_{k\geq 0} a_k x^k$$

La ecuación da entonces que

$$\sum_{k\geq 2} a_kk(k-1) x^{k-2}=\sum_{k\geq 1} a_kk x^k+\sum_{k\geq 0} a_k x^k$$

Podemos normalizar esto a " $k \geq 0$ " para obtener

$$\sum_{k\geq 0} a_{k+2}(k+2)(k+1) x^{k}=\sum_{k\geq 0} a_kk x^k+\sum_{k\geq 0} a_k x^k$$

De ello se desprende $$(k+1)(k+2)a_{k+2}=(k+1)a_k$$ o de forma equivalente $$(k+2)a_{k+2}=a_k$$

de esto, la solución debería ser sencilla. Analiza los casos de impar e incluso los índices.