Derivados en geometría diferencial

Question

Me siento muy atraído por el campo de la geometría diferencial generalizar el análisis en euclidiana de espacios en los que he estado trabajando toda mi vida. Sin embargo, mediante el aprendizaje en el campo me encontré con diferentes noción de derivados, a saber :

1. El vector tangente ( derivada direccional de una función )
2. El ehresman de conexión ( derivado de una sección )
3. La derivada covariante
4. El exterior derivado ( derivado de la gradual antisimétrica álgebra multilineal de formas diferenciales )
5. El exterior de la derivada covariante (Utilizado para definir la curvatura de un formulario ?
6. La Mentira derivado ( derivado a lo largo de las curvas de vectores y tensores de campos )

Primero de todo, sé que me falta conocimiento y la intuición en todos ellos. Sé que la definición de los mismos, sé la diferencia, a lo que el objeto de actuar sobre, qué información necesitamos para utilizarlos etc. No estoy buscando aquí para las definiciones.

Me gustaría saber ¿por qué necesitamos tantas definición y el enfoque de los derivados. Espero tener una versión general de los instrumentos derivados que se aplican a todos los objetos, pero que no parece ser el caso aquí.

¿Cuáles son la necesidad de que todos ellos?

En qué caso no tenemos más necesidad de uno y no de los demás ?

También yo realmente apreciaría una de las referencias que sería una lista de todos sus derivados, de menor importancia de la intuición en ellos y también explicar por qué y cuándo debemos usar uno o el otro.

PS: ya he visto la mayoría de las otras respuestas en este foro, gracias.

Answer 1

Esto es más de un comentario extendido de respuesta. Me gusta pensar que cada tipo de derivada como límite de mapas de algunos complejo de cadena. Dado un colector $M$, se pueden construir varios vector de paquetes de más de $M$. Ahora puede asociar variuos los complejos de la cadena con estos paquetes (como un ejemplo concreto de pensar de los de Rahm complejo). Estos derivados son algunas de las formas de derivados de mapas (por ejemplo, exterior derivado de Rahm complejo) o la composición de los derivados de los mapas con algunas mapa especial (e.g Mentira derivados [a través de Cartan de la fórmula]). También se puede expresar el tensor de curvatura como una composición de mapas de los límites (en realidad esto muestra que la curvatura es una generalización de la segunda derivada). El capítulo 13 de Este libro se explican las instrucciones anteriores para la curvatura y conexiones. Para los complejos colectores, algunos de estos se explican en el libro "Análisis Diferencial en los Complejos Colectores" por R. O. de Pozos. Yo no conozco ninguna referencia donde todos ellos están presentes.