Propiedades menos cuarto Error de la media

Question

Estoy interesado en saber si una cantidad \begin{align*} E[(X-E[X|Y])^4] \end{align*} ha sido estudiado en la literatura antes. Ni siquiera estoy seguro de si "menos media cuarta de error" es un nombre correcto, ya que $g(Y)=E[X|Y]$ podría no ser el mejor estimador de la $\inf_{g(y)} E[(X-g(Y))^4]$. Sin embargo, estoy intersted en $E[(X-E[X|Y])^4]$ lugar $\inf_{g(y)} E[(X-g(Y))^4]$.

Específicamente, estoy interesado en el caso de que \begin{align*} Y=X+Z \end{align*} donde $X$ es cero, la media y la varianza la unidad e $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ e independiente de $X$.

Aquí están algunos de los límites que yo era capaz de llegar con:

Límite inferior: Por ejemplo podemos relacionan el MMSE a través de la desigualdad de Jensen \begin{align*} E[(X-E[X|Y])^4] \ge E^2[(X-E[X|Y])^2]=MMSE^2 \end{align*}

Límite superior 1: Además, el uso de la desigualdad de Minkowski y asumiendo $E[X^4]$ existe podemos tener \begin{align*} E[(X-E[X|Y])^4]& \le (E[X^4]^{1/4}+E[E^4[X|Y]]^{1/4})^4 \\ &\le 2^4 E[X^4] \end{align*}

Límite superior 2: Observar que \begin{align*} (X-E[X|Y])=-(Z-E[Z|Y]) \end{align*} Así, \begin{align*} E[(X-E[X|Y])^4]=E(Z-E[Z|Y])^4] \le 2^4 E[Z^4]. \end{align*}

La cosa buena acerca de upper bound 2 es que no requiere ninguna hipótesis acerca de la $X$. Por otra parte, desde la $Z$ es Gaussiano $E[Z^4]$ está bien definido.

Necesita Ayuda con

1. Mejorar los límites superiores que tengo. Por ejemplo, podemos deshacernos de factor de $ 2^4$?
2. Podemos decir que en todas las variables aleatorias con $E[X^2]\le 1 $ Gaussiano $X$ maximiza $E[(X-E[X|Y])^4]$. Esto es cierto para $E[(X-E[X|Y])^2]$ y no creo que el $E[(X-E[X|Y])^4]$ es muy diferente.
3. Cualquier referencia en cantidades $E[(X-E[X|Y])^4]$ o $\inf_{g(y)} E[(X-g(Y))^4]$

Muchas gracias por cualquier hoel

Answer 1

Así, para encontrar una función determinista $g(y)$ a minimizar $E[(X-g(Y))^4]$, podemos hacer esto:

\begin{align} E[(X-g(Y))^4] &= \int_{y \in \mathbb{R}} E[(X-g(Y))^4|Y=y]f_Y(y)dy \\ &\geq \int_{y\in\mathbb{R}} \left(\inf_{\theta}E[(X-\theta)^4|Y=y]\right)f_Y(y)dy \end{align} donde la igualdad se logra mediante la función de $g^*(y) = \arg\inf_{\theta} E[(X-\theta)^4|Y=y]$. Para calcular esta función con más detalle, considere primero un problema más general: Para una variable aleatoria $W$, encontramos una constante $\theta \in \mathbb{R}$ a minimizar $E[(W-\theta)^4]$. Así, podemos minimizar la expresión: $$ E[(W-\theta)^4] = E[X^4] - 3E[X^3]\theta + 6E[X^2]\theta^2 -3E[X]\theta^3 + \theta^4 $$ Tomando derivados de: $$ 0 = -3E[X^3] + 12E[X^2]\theta - 9E[X]\theta^2 + 4\theta^3 $$ Hay en la mayoría de las tres raíces, tenemos que encontrar los tres y, a continuación, seleccione la mejor.

Por lo tanto, el uso de $W = X|Y$, podemos encontrar $g^*(y)$ por cada $y$ mediante la selección de la mejor raíz de la (en la mayoría de los tres) raíces de: $$ \boxed{0 = -3E[X^3|Y=y] + 12E[X^2|Y=y]\theta - 9E[X|Y=y]\theta^2 + 4\theta^3} $$

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Una manera de mostrar el minimizer $g^*(y)$ $E[(X-g(Y))^4]$ es diferente de la de $E[(X-g(Y))^2]$ es para usar el ejemplo de al $Z$ $X$ son cero, la media y la varianza la unidad. En este caso la mejor mean-square-estimador del error es lineal en $Y$: $g(Y)=Y/2$.

Por otro lado, usted puede encontrar el mejor estimador lineal para minimizar $E[(X-g(Y))^4]$ definiendo $g(Y)=aY$ para algunas constantes $a$, y, a continuación, minimizando $E[(X-aY)^4]$: $$ E[(X-aY)^4] = E[X^4] -3aE[X^3Y] + ... $$ Creo que la respuesta va a ser diferente de $g(Y)=Y/2$, y en el óptimo (posiblemente no lineal) no es peor, por lo $E[X|Y]$ es estrictamente subóptima en este caso.