Las dos funciones de $f(x)=\frac{1}{x}$ $g(x)=\frac{x-1}{x}$ generar, con la operación de la función de la composición, un grupo de $G$ de las funciones. Demostrar que este grupo es isomorfo al grupo $S_3$.
He encontrado una solución que es bastante tedioso, así que me pregunto si hay otras formas de demostrar la afirmación anterior. Así que aquí está mi solución:
Con la composición, podemos generar las funciones:
$f(f(x))=x$, $g(g(x))=\frac{1}{1-x}$, $g(f(x))=1-x$ y $f(g(x))=\frac{x}{x-1}$
Para demostrar que no hay más funciones pueden ser generados por el uso de las funciones anteriormente, tenemos que hacer una tabla ($*$ denota la función de composición): $$ \begin{array}{c|c|c|c} * & x & 1-x & \frac{1}{x} & \frac{x}{x-1} & \frac{x-1}{x} & \frac{1}{1-x} \\ \hline x & x & 1-x & \frac{1}{x} & \frac{x}{x-1} & \frac{x-1}{x} & \frac{1}{1-x} \\ \hline 1-x & 1-x & x & \frac{x-1}{x} & \frac{1}{1-x} & \frac{1}{x} & \frac{x}{x-1} \\ \hline \frac{1}{x} & \frac{1}{x} & \frac{1}{1-x} & x & \frac{x-1}{x} & \frac{x}{x-1} & 1-x \\ \hline \frac{x}{x-1} & \frac{x}{x-1} & \frac{x-1}{x} & \frac{1}{1-x} & x & 1-x & \frac{1}{x} \\ \hline \frac{x-1}{x} & \frac{x-1}{x} & \frac{x}{x-1} & 1-x & \frac{1}{x} & \frac{1}{1-x} & x \\ \hline \frac{1}{1-x} & \frac{1}{1-x} & \frac{1}{x} & \frac{x}{x-1} & 1-x & x & \frac{x-1}{x} \end{array} $$
Por lo tanto no hay más funciones que se pueden generar. Después de algún trabajo de construcción, parece que la siguiente función es un isomorfismo: $$ \phi(x)=() $$ $$ \phi(1-x)=(1,2) $$ $$ \phi(\frac{1}{x})=(1,3) $$ $$ \phi(\frac{x}{x-1})=(2,3) $$ $$ \phi(\frac{x-1}{x})=(1,2,3) $$ $$ \phi(\frac{1}{1-x})=(1,3,2) $$
Para comprobar si esto es un isomorfismo o no, tenemos que hacer una tabla similar con $S_3$: $$ \begin{array}{c|c|c|c} * & () & (1,2) & (1,3) & (2,3) & (1,2,3) & (1,3,2) \\ \hline () & () & (1,2) & (1,3) & (2,3) & (1,2,3) & (1,3,2) \\ \hline (1,2) & (1,2) & () & (1,2,3) & (1,3,2) & (1,3) & (2,3) \\ \hline (1,3) & (1,3) & (1,3,2) & () & (1,2,3) & (2,3) & (1,2) \\ \hline (2,3) & (2,3) & (1,2,3) & (1,3,2) & () & (1,2) & (1,3) \\ \hline (1,2,3) & (1,2,3) & (2,3) & (1,2) & (1,3) & (1,3,2) & () \\ \hline (1,3,2) & (1,3,2) & (1,3) & (2,3) & (1,2) & () & (1,2,3) \end{array} $$ Si expresamos esta tabla en términos de $\phi$ obtenemos: $$ \begin{array}{c|c|c|c} * & \phi(x) & \phi(1-x) & \phi(\frac{1}{x}) & \phi(\frac{x}{x-1}) & \phi(\frac{x-1}{x}) & \phi(\frac{1}{1-x}) \\ \hline \phi(x) & \phi(x) & \phi(1-x) & \phi(\frac{1}{x}) & \phi(\frac{x}{x-1}) & \phi(\frac{x-1}{x}) & \phi(\frac{1}{1-x}) \\ \hline \phi(1-x) & \phi(1-x) & \phi(x) & \phi(\frac{x-1}{x}) & \phi(\frac{1}{1-x}) & \phi(\frac{1}{x}) & \phi(\frac{x}{x-1}) \\ \hline \phi(\frac{1}{x}) & \phi(\frac{1}{x}) & \phi(\frac{1}{1-x}) & \phi(x) & \phi(\frac{x-1}{x}) & \phi(\frac{x}{x-1}) & \phi(1-x) \\ \hline \phi(\frac{x}{x-1}) & \phi(\frac{x}{x-1}) & \phi(\frac{x-1}{x}) & \phi(\frac{1}{1-x}) & \phi(x) & \phi(1-x) & \phi(\frac{1}{x}) \\ \hline \phi(\frac{x-1}{x}) & \phi(\frac{x-1}{x}) & \phi(\frac{x}{x-1}) & \phi(1-x) & \phi(\frac{1}{x}) & \phi(\frac{1}{1-x}) & \phi(x) \\ \hline \phi(\frac{1}{1-x}) & \phi(\frac{1}{1-x}) & \phi(\frac{1}{x}) & \phi(\frac{x}{x-1}) & \phi(1-x) & \phi(x) & \phi(\frac{x-1}{x}) \end{array} $$
Si la comparamos con la primera tabla podemos ver que $\phi(f*g)=\phi(f)*\phi(g)$ $\forall f,g \in G$. Desde $\phi$ es bijective es un isomorfismo. Y por lo tanto, $G$ $S_3$ son isomorfos.
Es allí una manera de evitar esas tablas? Parece bastante intuitivo después de ensayo y error que $\phi$ es un isomorfismo, pero ¿cómo podemos demostrar formalmente en una cuidada y elegante? Gracias!
