Un ejemplo de un espacio que no se genera de forma compacta

Question

¿Alguien conoce un ejemplo de un espacio topológico que no esté generado de forma compacta? Estoy utilizando la definición del libro de May "A Concise Course in Algebraic Topology". La definición es que un espacio $X$ está generada de forma compacta si para cualquier mapa continuo $g:K\to X$ de un espacio compacto de Hausdorff $K$ tenemos $g(K)$ está cerrado en $X$ (es decir $X$ es "Hausdorff débil") y para cualquier subconjunto $A$ de $X$ , $A$ es cerrado si y sólo si para cualquier mapa $g:K\to X$ la preimagen $g^{-1}(A)$ está cerrado en $K$ (es decir $X$ es un " $k$ -espacio").

Por supuesto, cualquier espacio generado de forma compacta es al menos $T_1$ como lo son los espacios compactos de Hausdorff $T_1$ Por lo tanto, estoy muy interesado en un ejemplo que tenga $T_1$ -(o mejor aún, una que sea Hausdorff) pero que no sea una $k$ -espacio.

Answer 1

Un ejemplo que aprendí del libro de Engelking:

dejar $X = \mathbb{R} \setminus \{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\}$ en la topología del subespacio y que $Y = \mathbb{R}$ donde identificamos los enteros positivos $\mathbb{N}$ a un punto, en la topología del cociente. Entonces $X \times Y$ no es un $k$ -(o generado de forma compacta).

Ver este blogpost o el capítulo de Engelking sobre $k$ -para el argumento. Como este espacio es incluso Tychonoff, generado de forma compacta y $k$ -espacio, etc., todos coinciden.

Answer 2

He leído sobre $k$ -espacios es Topología y Groupoides de Ronald Brown, donde se definen como espacios donde un subconjunto es cerrado si su preimagen $f^{-1}(A)$ es cerrado para cada mapa continuo $f$ de un espacio compacto de Hausdorff $K$ en $X$ . Estoy acostumbrado a la noción de espacio generado de forma compacta como un espacio en el que un subconjunto es cerrado si su intersección con cada subconjunto compacto es cerrada. Algunos autores exigen que el espacio sea Hausdorff, mientras que May sólo exige que sea Hausdorff débil. Nótese que un $k$ -siempre se genera de forma compacta, mientras que para los espacios de Hausdorff ambas propiedades coinciden.

Sea cual sea la definición que se utilice, no es tan difícil encontrar un espacio que no esté generado de forma compacta (y por lo tanto no sea un $k$ -), si se tiene en cuenta que en un $T_1$ la intersección con cada conjunto compacto es automáticamente cerrada si cada conjunto compacto es finito (Un espacio donde cada conjunto compacto es finito se llama anti-compacto ). Así que sólo tenemos que encontrar un anti-compacto $T_1$ espacio que no es discreto. Existe un espacio de este tipo, a saber, el espacio $X=(\mathbb R,\tau_{cc})$ la línea real con la topología cocontable . Es fácil comprobar que ningún subconjunto infinito de $X$ es compacto. Pero como este espacio no es discreto, no está generado de forma compacta.

Sin embargo, no tengo un ejemplo de un espacio de Hausdorff. Pero cuando intentes encontrar un espacio así, ten en cuenta que los siguientes espacios son siempre $k$ -espacios:

• espacios donde cada punto tiene una vecindad Hausdorff compacta
• espacios secuenciales
• cocientes de una suma topológica de espacios compactos de Hausdorff

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Editar: Un ejemplo de un espacio de Hausdorff que no está generado de forma compacta se presenta ahora en mi respuesta a Espacios en los que " $A \cap K$ es cerrado para todos los compactos $K$ " implica " $A$ está cerrado".

Answer 3

He aquí un ejemplo muy sencillo. Dejemos que $X=\mathbb{N}\times\mathbb{N}\cup\{*\}$ donde un subconjunto $U\subseteq X$ está abierto si

• $*\not\in U$ o,
• para todos los casos, excepto para un número finito de $n\in \mathbb{N}$ , $U$ contiene todos los puntos de $\{n\}\times\mathbb{N}$ .

Claramente $X$ es Hausdorff (de hecho, es normal). Es fácil ver que todo subconjunto infinito de $X$ contiene un subconjunto discreto cerrado infinito (elija un subconjunto contenido en $\{n\}\times\mathbb{N}$ para algunos $n$ o un subconjunto que contenga sólo un número finito de puntos en cada $\{n\}\times\mathbb{N}$ ), por lo que todo subconjunto compacto de $X$ es finito. Por tanto, la topología generada de forma compacta en $X$ es sólo la topología discreta, por lo que $X$ no se genera de forma compacta.

(De forma más general, se podría sustituir el segundo punto anterior por " $U\in F$ ", donde $F$ es cualquier filtro en $X$ que no está contenido en el filtro cofinito de ningún subconjunto infinito de $X$ . El caso cuando $F$ es un ultrafiltro no principal es un ejemplo útil para muchas cuestiones de topología de conjuntos de puntos).