Demostrando eso si $v_1+\dots+v_k\in W$ y $v_i\in W$

Question

Que $T$ sea un operador lineal en un espacio dimensional finito del vector $V$. $W$ es un subespacio de invariantes $T$ $V$. Que $v_1,\dots,v_k$ sea vectores propios de $T$. ¿Cómo pruebo eso si $v_1+\dots+v_k\in W$ y $v_i\in W$?

He intentado hacerlo por inducción en $k$, donde % caso $k=1$es trivial. Pero estoy perdido sobre cómo usar el hecho eso si $v_1,\dots,v_k\in W$ y $v1,\dots,v{k+1}\in W$, si $v_{k+1}+w\in W$ (donde simplifiqué $v_1+\dots+v_k=w$).

Edit: Los vectores propios de hecho tienen distintos valores propios

Answer 1

Esto es totalmente falso. Tomar $T$ a ser la identidad en vectores propios $R^2$, $v_1=(1,0)$% #%, #% y $v_2=(0,1)$, que $W=\mbox{span}{(1,1)}$. Entonces claramente $TW=W$ pero ni $v_1+v_2=(1,1)\in W$ se encuentra en $v_i$.

Answer 2

Como las otras respuestas señalar, que su afirmación es falsa como se indica. Sin embargo, si los vectores propios $v_i$ corresponden a distintos valores propios, entonces su afirmación es verdadera.

Supongamos que $w := \sum_{i=1}^{k+1} v_k \in W$, donde $$ \forall 1 \leq i \leq k+1, \quad T(v_k) = \lambda_k v_k $$ con $\lambda_i \neq \lambda_j$$i \neq j$. Desde $W$ $T$- invariante, se deduce que el $T(w) = \sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i v_i$ está todavía en $W$; desde $W$ es un subespacio de $V$, entonces se sigue que para cada una de las $1 \leq j \leq k+1$, $$ T(w) - \lambda_jw = \sum_{i \neq j} (\lambda_i - \lambda_j)v_i $$ es todavía en $W$, de modo que por la hipótesis de inducción, $(\lambda_i - \lambda_j)v_i \in W$$i \neq j$, y por lo tanto, por nuestra extra hipótesis sobre los vectores propios, $v_i \in W$$i \neq j$. Haciendo esto $j=1,2$ es suficiente para mostrar que el $v_i \in W$ todos los $1\leq i \leq k+1$.

Answer 3

El resultado no es cierto.
Que $V= \mathbb{R}^n$, $T = \textrm{Id}$ y $W= \mathbb{R} \left( \begin{matrix} 1 \ \vdots \ 1 \end{matrix} \right)$. Entonces tenemos que es de $W$ $T$-invariante y los vectores propios ${ei \mid 1 \le i \le n }$ $\sum{i=1}^n \in W$ $e_1 \not\in W$.

Si asumimos que el % de vectores propios $v_i$tienen valores propios distintos, entonces podemos considerar lo vectores $T^n w \in W$ $W$ es $T$-invariante, y $0 \le n \le k-1$ obtenemos elementos de $k$ $W$ que escriben w.r.t la "base" de ${ v_i \mid 1 \le i \le k}$ independiente, tan hábilmente restando nos encontramos con $v_i \in W$ % todos $1 \le i \le k$.