¿La línea con Uncountably muchos orígenes: en segundo lugar contable?

Question

Motivación: La línea con dos orígenes pueden ser construidos a través de la toma de los dos copias de ${\mathbb R}$ y la identificación de $x$ en la primera copia con $x$ en la segunda copia para cada una de las $x\neq 0$. Tomamos nota de que debido a que este espacio es separable y la primera contables, también es segundo contable. Lo que si, en lugar de dos orígenes, tenemos una cantidad no numerable? Leí una afirmación de que este espacio fue no segundo contables, pero no puedo ver por qué.

Problema: Definir la línea con una cantidad no numerable de los orígenes de la siguiente manera: tomar un discontinuo de la unión de una cantidad no numerable de copias de ${\mathbb R}$; podemos índice como ${\mathbb R}\times \{\alpha\}$$\alpha\in A$, un incontable de indexación conjunto. A continuación definimos la clase de equivalencia $\sim$$(x,\alpha)\sim (x,\beta)$$\alpha,\beta\in A$, y para todos los $x\neq 0$. Es el resultado del cociente del espacio de segunda contables?

Lo que he Hecho: yo sé que algo relacionado con el problema de mostrar la inconexión de la unión de un número incontable de ${\mathbb R}$'s no son de segunda contable se basa en el hecho de que (después de lo que es un espacio métrico) uno no puede encontrar una contables subconjunto denso --- pero en este problema, creo yo, cada conjunto abierto que cubre $0\times \{\alpha\}$ cubrirá todos los otros $0\times \{\beta\}$'s así. En particular, no veo por qué no acaba de tomar todas racional, centrada en las bolas con racional de los radios.

Answer 1

Esto no reduce el problema de encontrar una contables subconjunto denso, que es una propiedad más débil conocida como "seperability". En la línea con una cantidad no numerable de orígenes, puedo tomar un conjunto abierto $U_{\alpha}$ que contiene sólo el origen de $\mathbb{R} \times \{\alpha\}$, dicen que la proyección del conjunto de $(-1,1) \subset \mathbb{R} \times \{\alpha\}$ para el cociente. Si tengo una base para la topología de mi, entonces necesito un conjunto abierto en mi base contenida dentro de $U_{\alpha}$ que cubre su origen, y así de esa base, elemento que no puede tener otros orígenes. Por lo tanto cada una de las $U_{\alpha}$ requiere una base de elemento que no puede volver a ser utilizada para cualquier otro $U_{\alpha}$, lo que exige una cantidad no numerable de elementos en mi base.