Longitud más corta que un vector puede tener

Question

Llegué a la siguiente pregunta de un examen pasado: el % de vector $v = (k, k, 3 − k)$depende de una variable $k$.

¿Cuál es la longitud más corta del vector $v$ pueden tener? Sé que la respuesta es... $\sqrt{6}$, pero ¿por qué? Cómo debe proceder aquí a encontrar el resultado...

Answer 1

¿Eres capaz de escribir la fórmula de la longitud del vector?

¿Y su cuadrado? ¿Cómo minimizar el cuadrado de la longitud se relaciona minimizando la longitud? (¿Cómo están los argumentos relacionados, si?)

¿Qué tipo de función de $k$ es ese cuadrado?

Answer 2

Suponiendo que $k$ puede abarcar $\mathbb R$, y deje $v_k=(k,k,3-k)$, empezar por considerar la función de $f(k)=\|v_k\|$. Lo que quiere es encontrar el mínimo de $f$. Ahora, el trabajo con la definición de la longitud de un vector. Usted verá que contiene una raíz cuadrada. Hacer su vida mucho más fácil darse cuenta de que en realidad, es el mismo problema de encontrar el mínimo de la función $g(k)=\|v_k\|^2$, por lo que ahora la raíz cuadrada se ha ido. Ahora sólo tienes bastante simple de una sola variable real con valores de la función. Encuentre su mínimo utilizando el estándar de cálculo de las técnicas.

Answer 3

La longitud va a ser $\sqrt{k^2+k^2+(3-k)^2}= \sqrt{3k^2-6k+9}$ ahora uso cálculo para encontrar el mínimo de la función $3k^2-6k+9$ encontrar el derivado es $6k-6$ así que si $6k-6=0$ y $k=1$ sustituto para encontrar la distancia mínima es $\sqrt 6$ como lo desea. Saludos