¿Qué hay de malo en la "prueba" para $\ln(2) =\frac{1}{2}\ln(2)$ ?

Question

Tengo una pregunta que es la siguiente:

Es $\ln(2)=\frac{1}{2}\ln(2)$ ??

El siguiente argumento parece sugerir que la respuesta es afirmativa:

Tenemos la serie $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$ que tiene un valor determinado matemáticamente $\ln(2)=0.693$ .

Ahora, hagamos un poco de reordenamiento:

$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}......$$ $$ (1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})-\frac{1}{8}+(\frac{1}{5}-\frac{1}{10})-\frac{1}{12}.......$$ $$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}......$$ $$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}......)$$

$$\frac{1}{2}\ln(2).$$

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Sé que las matemáticas no pueden estar equivocadas, y que he hecho algo mal. Pero aquí está mi pregunta ¿Dónde se equivoca el argumento anterior?

Answer 1

Esta reagrupación de una serie no garantiza que no se altere el límite ni que se preserve la convergencia.

Sería admisible si la serie fuera absolutamente convergente, es decir, la serie de valores absolutos convergería. Pero, la serie actual no converge absolutamente.

Answer 2

La serie $\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k$ es convergente pero no absolutamente convergente, es decir, la propia suma tiene un límite, pero $\sum_{k=1}^\infty\left\lvert\frac{(-1)^{k+1}}{k}\right\rvert=+\infty$ . Por lo tanto, al Teorema de Riemann-Dini para cualquier número real extendido $\alpha\le \beta\in\Bbb R\cup\{-\infty,\infty\}$ existe una función biyectiva $f:\Bbb N^+\to\Bbb N^+$ tal que $$\alpha=\liminf_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{f(k)}}{f(k)}\le\limsup_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{f(k)}}{f(k)}=\beta$$

Resulta que has descrito, más o menos explícitamente, una función biyectiva $f$ que va bien con $\alpha=\beta=\ln\sqrt2$ , que resulta ser el ejemplo(s) en Wikipedia también.

Answer 3

Veamos esto como un montón de términos finitos que se alargan cada vez más acercándose al infinito.

$A_1 = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$

$A_2= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$

$A_3 = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}$

Y

$A_4 =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}+\frac{1}{13}-\frac{1}{14}+\frac{1}{15}-\frac{1}{16}$

Ahora vamos a hacer nuestro reordenamiento.

$A_1 = (1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}+(\frac{1}{3})$ donde el $\frac{1}{3}$ es un poco más.

$A_2 = (1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})-\frac{1}{8}+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})$ donde $\frac{1}{5}+\frac{1}{7}$ es un poco más.

$A_3 =(1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})-\frac{1}{8}+(\frac{1}{5}-\frac{1}{10})-\frac{1}{12} + (\frac 17 + \frac 19 + \frac 1{11})$ con $(\frac 17 + \frac 19 + \frac 1{11})$ extra.

$A_4 = (1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})-\frac{1}{8}+(\frac{1}{5}-\frac{1}{10})-\frac{1}{12} + (\frac 17 + \frac 1{14}) - \frac{1}{16} + (\frac 19 + \frac 1{11} + \frac 1{13} + \frac 1{15})$ con $(\frac 19 + \frac 1{11} + \frac 1{13} + \frac 1{15})$ como extra.

Cada vez que nos reordenamos nos desubicamos más de los lugares más altos.

Ahora es tentador decir, bueno, si es infinito podemos reordenar para siempre y empujar de esta desubicación para siempre ya que la desubicación comienza en un punto cada vez más alto. Así que en el infinito comenzará infinitamente tarde y eso es ... ¡nunca!

Pues no funciona así. No podemos "tomar prestado" el infinito indefinidamente. Un ejemplo más fácil es $1-1+1-1+1-1+1-1+1....= 1 + (-1+1)+(-1+1)+..... = 1 + (1-1) + (1-1) + (1-1) + ..... = 1+1 + (-1 +1)+ (-1+1) + (-1+1) + .... = 2 + (1-1) + (1-1)+... = 3 + (-1+1)+ (-1+1)+...$ . Seguimos tomando el primer término, cambiando el orden del resto, tomando el segundo, cambiando el orden del resto, tomando el tercero, etc.

Obviamente, estamos haciendo trampa. ¿Pero cómo exactamente?

Bueno.... La cosa es que una suma infinita nunca es realmente llega a un resultado. Simplemente se acerca a el resultado y se acerca infinitamente al resultado cuantos más términos tomemos. Pero si reordenamos los términos... bueno, no pasa nada si mantenemos los términos más o menos donde deben estar, pero si reordenamos los términos de manera que los términos que se supone que deben aparecer cada vez más adelante y estamos poniendo esos términos cada vez más cerca del frente donde no "debe estar", entonces estamos alterando el "enfoque" muy mal, y estamos esencialmente "dirigiendo" la suma en una dirección totalmente equivocada.

Answer 4

Como otros han señalado, la reordenación no está permitida, así que te daré el caso más extremo:

$$S=1-\frac12-\frac14-\frac16-\frac18+\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{11}+\frac1{13}+\dots$$

El patrón general es sencillo. Comenzar en $1$ . A continuación, sume los términos pares hasta que la suma sea menor que $0$ . A continuación, suma los términos de impar hasta que la suma sea superior a $1$ . A continuación, sume los términos pares hasta que la suma sea menor que $0$ de nuevo...

Es evidente que si repetimos este proceso indefinidamente, lo hemos reordenado de forma que la suma nunca converge y oscila entre $0$ y $1$ .

Answer 5

En su nueva serie

$$\left(\frac 11 - \frac 12\right) - \frac 14 + \left(\frac 13 - \frac 16\right) - \frac 18 + \left(\frac 15 - \frac 1{10}\right) - \frac 1{12} + \left(\frac 17 - \frac 1{14}\right) - \frac 1{16} \dots$$

Condiciones del formulario $\frac{1}{2z - 1}$ ocurren 1/3 del tiempo en lugar de 1/2 del tiempo como lo hacen en la serie original, por lo que están infravalorados.

Condiciones del formulario $\frac{1}{2z}$ ocurren 2/3 del tiempo en lugar de 1/2 del tiempo como lo hacen en la serie original, por lo que están sobrecargados.

Al cambiar la densidad en la que aparecen esos términos, se está convirtiendo efectivamente la suma de

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n \frac{1}{2k - 1} - \sum_{k = 1}^n \frac{1}{2k}$$

en

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n \cdot 2/3} \frac{1}{2k - 1} - \sum_{k = 1}^{n \cdot 4/3} \frac{1}{2k}$$

que, naturalmente, da un valor menor, ya que los términos restados tienen una densidad mayor. En cambio, si se reordena la serie sin cambiar la densidad de las subseries, se obtiene un resultado igual.