Montajes en teoría de la categoría

Question

Mi pregunta es ¿cómo podemos ver eso si $F$ y $F'$ son ambos izquierdos adjoints de $G$, hay isomorfismo natural entre $F$y $F'$? Entonces, ¿cómo podemos mostrar que los adjoints es único hasta isomorfismo?

Answer 1

Tenemos $\hom(Fx,y) \cong \hom(x,Gy) \cong \hom(F'x,y)$ natural en $x,y$, por lo tanto, $F \cong F'$ (Yoneda).

PD: Comparar esto con la prueba de que los operadores del adjoint entre espacios de Hilbert son únicos.

Answer 2

Si $F \vdash G$, $F' \vdash G$, entonces tenemos unidades/counits $\epsilon:I \rightarrow FG, \eta:GF \rightarrow I$ y $\epsilon':I \rightarrow F'G, \eta':GF' \rightarrow I$. Entonces $\epsilon F':F' \rightarrow FGF'$, $F\eta' :FGF' \rightarrow F$. Composición de estos da una transformación natural $F \rightarrow F'$. Ahora, por supuesto, tiene que encontrar el mapa inverso y mostrar que realmente es una inversa. Lo bueno de este enfoque es ya es natural! Para mí, la clave es entender cómo traducir su información en el "Álgebra de functor" y trabajar con él.