Existencia de la derivada en el origen

Question

Debo para buscar para que valores de $p$ $q$ la siguiente función es diferenciable en el origen:

$ f(x,y,z) =\begin{cases} \dfrac{(x^2y^2)^p(1-\cos(z))^q}{x^2+y^2+z^2} & \text{if } (x,y,z) \neq (0,0,0) \ 0 & \text{if } (x,y,z) = (0,0,0)\ \end{casos} $$

Ha hecho algunos progresos con la expansión de Taylor del coseno de $0$, pero no pudieron llegar lejos incluso al hacerlo. ¿Podría alguien compartir una solución?

Answer 1

Sugerencia: Usted puede comprobar que las derivadas parciales de $f$ $(0,0,0)$ son todas las $0.$ $Df(0,0,0)$ existe así iff

$$f(x,y,z) = f(0,0,0) + 0 +o((x^2+y^2+z^2)^{1/2})= o((x^2+y^2+z^2)^{1/2})$$

$(x,y,z) \to (0,0,0).$ $Df(0,0,0)$ existe en otras palabras, iff

$$\lim_{(x,y,z) \to (0,0,0)} \frac{f(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}} = 0.$$

Answer 2

Aquí le damos una solución completa como usted pidió, siguiendo previamente dado consejos. Note que usando la expansión de Taylor como el que sugiere da lo % numerador $(x^{2p}y^{2p}z^{2q})/2$, por lo que el límite que queremos ser cero se convierte en $$\lim{(x,y,z) \to (0,0,0)} \frac{f(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}} = \lim{(x,y,z) \to (0,0,0)} \frac{x^{2p}y^{2p}z^{2q}}{2(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}.$ $

El truco está en usar las tres desigualdades

$$ x^2 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$$ $$ y^2 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$$ $$ z^2 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$$

Escribir

$$\lim{(x,y,z) \to (0,0,0)} \frac{x^{2p}y^{2p}z^{2q}}{2(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \leq \lim{(x,y,z) \to (0,0,0)} \frac{(x^2+y^2+z^2)^{2p+q}}{2(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$$

de donde sigue el límite es cero siempre que sea estrictamente mayor que $2p +q$ $3/2$.