¿Forma cerrada de un punto fijo de la función exponencial?

Question

Que $$e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} $ $ denota la función exponencial, que se define en el plano complejo entero.

Hay un punto fijo de esta función en $w= a+bi$ donde $a \approx 0.31813$ y $b \approx 1.33723$.

Supongo que no hay ninguna expresión de forma cerrada para $w$. Si hay, por favor corregirme. Pero si no es una expresión de forma cerrada, ¿cómo uno demostrar algo como eso? Se agradecería cualquier punteros a la literatura apropiada.

Answer 1

$e^z=z$, lo $ze^{-z}=1$o $-ze^{-z}=-1$. Que $u=-z$, por lo que la ecuación se convierte en $ue^{u}=-1$. Esta ecuación puede resolverse mediante la función W de Lambert, que $u=W(-1)=-0.31813\ldots-1.3372\ldots i$, que sobre la negación le da su respuesta. Hay algunas extensiones de la serie de energía de $W$ pero no fácil forma cerrada para la solución.