Dada la siguiente EDO para $x$ sur $\mathbb{R^n}$ $$ \textbf{x'}(t)=\frac{4\textbf{x}}{|\textbf{x}|}$$ ¿Cómo puedo resolverlo teniendo en cuenta que $\textbf{x}$ es una función del tiempo? La magnitud de $\textbf{x}$ realmente me confunde. Sé que debería acabar siendo una especie de exponencial, ¿no? Gracias por la ayuda/sugerencias :)
Respuesta
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La ecuación sólo está definida para $x \neq 0$ .
Si $x_0 \neq 0$ entonces el lado derecho satisface una condición de Lipschitz y por lo tanto una solución local única está bien definida.
Es fácil comprobar que $x(t) = (1+4 \frac{ t }{\|x_0\|})x_0$ es una solución, por lo tanto es la solución.
Esto no es sorprendente, la EDO dice que la velocidad tiene magnitud 4 en la dirección de la posición actual. Por lo tanto, se reduce a una ecuación unidimensional a lo largo del rayo $\{\alpha x_0\}$ .
