El límite de integrales iteradas

Question

Ser integrable en $f_0>0$, que $[0,1]$ definir $$f_n(x)=\sqrt{\int0^x f{n-1}(t)dt},\ n=1,2,\cdots.$ $ encontrar límite $$\lim_{n\to\infty}f_n(x),\ x\in [0,1].$ $

Sospecho que el límite es de $0$, pero no pude comprobarlo...

Answer 1

Le aviso para toda la $n>1$ que $f_n$ es cada vez mayor. Deje $g(x)$ como el límite de la solución. Es fácil mostrar todos los $f_n$ están delimitadas por una constante $c$ (Tenemos $f_n(1)<\sqrt{f_{n-1}(1)}$), por lo $g$ existe (por eso $g$ existe en realidad es más técnico, pero descansa en estos hechos).

Tenemos: $g(x)=\sqrt{\int_0^x g(t)dt}$. $g^2(x)=\int_0^x g(t)dt$. $2g(x)g'(x)=g(x).$

Por lo $g(x)=0$ o $g'(x)=1/2$. Disculpas, excluyendo $g'(x)=1/2$ fue apresurada. De hecho, $g(x)=x/2$ obras, y estas son las únicas dos soluciones.

*¿Por qué es $f_n$ creciente y acotada para $n > 1$? $f_n>0 \ \ \forall n$ por lo $\int_0^x f_n(t)dt$ de aumento para todos los n $f_n(x)=\sqrt{\int_0^x f_{n-1}(t)dt}$ es el aumento de $n\geq1$. Ahora $f_n$ el aumento de $n \geq 1$$\int_0^x f_{n-1}(t)dt<(1-0)f_{n-1}(1)$$f_n(1)<\sqrt{f_{n-1}(1)}$$n \geq 2$.

Answer 2

Esto no es realmente una respuesta completa, pero me gustaría señalar que en el caso de $g'(x)\equiv 1/2$ es realmente posible.

Empezar con $f_0\equiv 1$. Entonces $f_1(x)^2= x$, $f_2(x)^2=2/3\ x^{3/2}$ y, en general, podemos ver que $f_n$ es de la forma $f_n(x)=c_nx^{b_n}$ para algunos números positivos $b_n,c_n\ge 0$.

De hecho, podemos derivar algunas relaciones recursivas: $$ c_n^2x^{2b_n}=f_n(x)^2=\int_0^x f_{n-1}(t)dt = \int_0^xc_{n-1}t^{b_{n-1}} d t =\frac{c_{n-1}}{1+b_{n-1}}x^{1+b_{n-1}},$$ de la que podemos obtener \begin{align*} 2b_n&=1+b_{n-1},\ \ b_0=0, \\ c_n^2&=\frac{c_{n-1}}{1+b_{n-1}}, c_0=1. \end{align*}

No es demasiado difícil de establecer que $b_n= 1-2^{-n}$ (de todos modos es esasily demostrado por inducción una vez que uno lo hace "conjetura"). Que nos deja la relación recursiva $$c_0=1, \ \ c_n^2=\frac{c_{n-1}}{1+b_{n-1}}=\frac{c_{n-1}}{2(1-2^{-n})}.$$ Now it turns out that $c_n\a 1/2$ as $n\to\infty$ (giving exactly $g(x)= \lim_{n\to\infty}f_n(x)=x/2$!) To see this first note (again, say, by induction) that $c_n\ge 1/2$ for all $$ n. Luego estimar de la siguiente manera:

\begin{align*} |c_n-1/2|&\le |c_n-1/2||c_n+1/2|=|c_n^2-1/4|\le |c_n^2-\frac{1/4}{1-2^{-n}}|+\frac{2^{-n-2}}{1-2^{-n}}\\ &= \frac{2^{-n-2}}{1-2^{-n}}+ \frac{1/2}{1-2^{-n}} |c_{n-1}-1/2|. \end{align*} De esto se deduce fácilmente que el$|c_n-1/2|\to 0$$n\to \infty$.

Por lo tanto, para algunas opciones de $f_0$ el límite en cuestión es $g(x)=1/2\ x$.

EDIT: Como kelenner señaló, hay más soluciones que sólo $g=0$ o $g=x/2$.

De hecho, vamos a $g$ ser absolutamente una función continua $g:[0,1]\to R$ satisfacción $g(0)=0$ $2g(x)g'(x)=g(x)$ para casi todas las $x\in [0,1]$. A continuación, la elección de $f_0= g$ rendimientos $f_n=g$ todos los $n$: si la demanda ya está demostrado hasta algunos $n=k-1$ $$f_{n+1}(x)^2=\int_0^xf_nd t=\int_0^xg d t =2\int_0^x g'g dt.$$ Using integration by parts one gets $$2\int_0^x g'g dt = 2g(x)^2-2\int_0^xg'gdt= 2g(x)^2- f_{n+1}(x)^2$$ from which $f_{n+1}= g$. Un ejemplo no trivial de una función de este tipo se da en el comentario por kelenner.

Answer 3

Yo trate de una solución completa.

A) Deje $\displaystyle d=\int_0^1 f_0(t)dt>0$. A continuación,$\displaystyle f_1(x)\leq d^{1/2}x^{1/2}\leq d_1=\sqrt{d}$. Por lo tanto, tenemos un límite de $f_n(x)$: Teri cálculos obtenemos que $f_n(x)\leq d^{1/2^n}a_{n-1}x^{b_{n-1}}$. Como consecuencia de ello, tenemos para todos los $x$ que $\displaystyle \limsup{f_n(x)}\leq \frac{x}{2}$.

B) Ahora vamos a $0<c_0<d$. Vamos $\displaystyle F_0(x)=\int_0^x f_0(t)dt$, $F_0$ es estrictamente creciente y si $u=F_0^{-1}(c_0)$, luego tenemos a$\displaystyle \int_0^x f_0(t)dt\geq c_0$$x\geq u$. Si $c_0\to 0$ , podemos ver que $u\to 0$.

Tenemos $f_1(x)\geq c=\sqrt{c_0}$$x\geq u$, por lo tanto $\displaystyle \int_0^xf_1(t)dt\geq c(x-u)$$x\geq u$. Por lo tanto $\displaystyle f_2(x)\geq c^{1/2}(x-u)^{1/2}$$x\geq u$. De nuevo, nos muestran que la $\displaystyle f_n(x)\geq c^{1/2^n}a_{n-1}(x-u)^{b_{n-1}}$$x\geq u$. Pero esto implica que $\displaystyle \liminf{f_n(x)}\geq \frac{x-u}{2}$$x\geq u$. Ahora nos vamos a $u\to 0$, y llegamos $\displaystyle \liminf{f_n(x)}\geq \frac{x}{2}$$x>0$. Como el caso de $x=0$ es trivial, hemos terminado.