Para una partícula libre en la mitad de la línea, el requisito de que el Hamiltoniano:
$$H = \frac{p^2}{2m}$$
es auto adjunto
$$ (\psi ,H \phi) = (H\psi , \phi) = \phi(0) \frac{d\psi}{dx}(0)-\psi(0) \frac{d\phi}{dx}(0)$$
(esta condición significa que no hay ninguna probabilidad de cruce actual $x=0$), conduce a una familia de auto adjunto extensiones que se caracteriza por las condiciones de contorno:
$$\psi(0) = \gamma \frac{d\psi}{dx}(0)$$
El propagador de la solución general de la ecuación de Schrödinger con esta condición de frontera está dado por:
$$G(x_1, x_2) = G_0(x_2-x_1)+G_0(x_2+x_1) - 2 \gamma \int_0^{\infty}d\lambda e^{-\gamma \lambda} G_0(x_2+x_1+\lambda)$$
($G_0$ es la libre sin restricciones propagador; por Favor, consulte Gamboa)
Ambos Clark,Menikoff, y Sharp y de Fahri y Gutmann
demostró que este propagador puede ser obtenido a partir de una ruta integral de la cuantización de la acción libre con una diferencia de potencial en el origen de las rutas que se extiende desde $-\infty$$+\infty$.
$$L = \frac{m \dot{x}^2}{2} + \gamma \delta(x)$$
Sin embargo, este no es el único camino para cuantizar el movimiento en la mitad de la línea:
Isham , se define un esquema de cuantización basada en la transformación canónica:
$$(x, p) \rightarrow (e^x, e^{-x}p)$$
Otro esquema de cuantización se basa en la quatization de $\mathbb{R}^+$ como un cociente de espacio:por Favor, consulte Tanimura
$$\mathbb{R}^+ = \mathbb{R}^2/SO(2),$$
Este método lleva a la otra familia de Hamiltonianos:
Yo no soy consciente de que cualquier ruta integral de la formulación de los dos últimos métodos. Claramente, el último método conduce a no equivalentes cuantizaciones con respecto a la primera. Estoy bastante seguro de que ambos métodos pueden ser combinados para un método unificado incluyendo tanto a las familias de quatizations.
