¿Cómo integrar sendero sobre el half-line?

Question

Considere la ruta integral de un campo escalar $\varphi$: $$Z=\int_{\mathcal S}\ \mathrm e^{[\varphi]}\mathrm d\varphi$$ donde $\mathcal S$ es alguna función de espacio (por ejemplo, Schwartz o su doble).

¿Cómo podemos aplicar la condición de $\varphi\ge0$? ¿cuál es el efecto de esta restricción, tanto en el perturbativa de nivel y en la no-perturbativa de nivel?

Tenga en cuenta que esto no es meramente un "por curiosidad", pregunta. La situación anterior se produce en la práctica (en su forma más simple manifestación, en la que el mecanismo de Higgs, donde se descompone $H(x)=\rho(x)\ \mathrm e^{i\sigma(x)}$; aquí la integral sobre la $\rho$ es sólo más de la mitad de la línea de $\rho\ge0$).

Answer 1

Para una partícula libre en la mitad de la línea, el requisito de que el Hamiltoniano:

$$H = \frac{p^2}{2m}$$

es auto adjunto

$$(\psi ,H \phi) = (H\psi , \phi) = \phi(0) \frac{d\psi}{dx}(0)-\psi(0) \frac{d\phi}{dx}(0)$$

(esta condición significa que no hay ninguna probabilidad de cruce actual $x=0$), conduce a una familia de auto adjunto extensiones que se caracteriza por las condiciones de contorno:

$$\psi(0) = \gamma \frac{d\psi}{dx}(0)$$

El propagador de la solución general de la ecuación de Schrödinger con esta condición de frontera está dado por:

$$G(x_1, x_2) = G_0(x_2-x_1)+G_0(x_2+x_1) - 2 \gamma \int_0^{\infty}d\lambda e^{-\gamma \lambda} G_0(x_2+x_1+\lambda)$$

($G_0$ es la libre sin restricciones propagador; por Favor, consulte Gamboa)

Ambos Clark,Menikoff, y Sharp y de Fahri y Gutmann

demostró que este propagador puede ser obtenido a partir de una ruta integral de la cuantización de la acción libre con una diferencia de potencial en el origen de las rutas que se extiende desde $-\infty$$+\infty$.

$$L = \frac{m \dot{x}^2}{2} + \gamma \delta(x)$$

Sin embargo, este no es el único camino para cuantizar el movimiento en la mitad de la línea:

Isham , se define un esquema de cuantización basada en la transformación canónica:

$$(x, p) \rightarrow (e^x, e^{-x}p)$$

Otro esquema de cuantización se basa en la quatization de $\mathbb{R}^+$ como un cociente de espacio:por Favor, consulte Tanimura

$$\mathbb{R}^+ = \mathbb{R}^2/SO(2),$$

Este método lleva a la otra familia de Hamiltonianos:

Yo no soy consciente de que cualquier ruta integral de la formulación de los dos últimos métodos. Claramente, el último método conduce a no equivalentes cuantizaciones con respecto a la primera. Estoy bastante seguro de que ambos métodos pueden ser combinados para un método unificado incluyendo tanto a las familias de quatizations.