¿Razón intuitiva de por qué la integral de Gauss converge a la raíz cuadrada de pi?

Question

Este es un problema muy famoso, que se suele enseñar cuando los estudiantes comienzan a aprender la integración multivariable en coordenadas polares. Sin embargo, siempre me ha molestado que hayamos recibido esa respuesta. Siempre ha habido una voz que me regañaba, diciendo "esto es sólo una aproximación inteligente basada en nuestros axiomas".

Pi y la constante de Euler son dos números trascendentales muy especiales, con una relación muy especial. Sin embargo, el antecedente de pi proviene de una característica física que conecta todas las métricas/espacios/objetos curvos. Creo que los números no algebraicos son la prueba de que nuestra teoría de los "números naturales" es bastante defectuosa [mi opinión también está relacionada con el segundo teorema de incompletitud de Godel], y que pi es un fenómeno natural que pudimos observar [de forma bastante incompleta] con el método que elegimos [los números naturales].

¿Hay alguna razón intuitiva por la que la integral converja a ese valor? Sólo hemos podido analizarla así gracias a un truco muy ingenioso [del que no dudo en absoluto de su auntencialidad]. No quiero parecer infantil, sin embargo, agradecería mucho que un matemático experimentado (de los que abundan en este sitio) me lo explicara.

Answer 1

Dejemos que $ V_n(h) $ es el $ n$ -volumen dimensional de un casquete hiperesférico (de radio unitario) de altura $ 1+ h (-1 \le h \le 1) $ en $ n$ -espacio euclidiano, $ F()$ - la integral de la distribución normal estándar.

Se sabe ( Wikipedia, Capuchón Hiperesférico) que si $ n \to \infty $ entonces $ V_n(h)/V_n(1) \to F(h \sqrt n ). $

Aquí intentaré mostrar algunos detalles y conexiones interesantes (creo) entre $ e, \pi , V_n(h) $ y $ F(). $

$ V_n(h) = \int _{-1}^h \int _{-z_{2}}^{z_{2}} ... \int _{-z_{n}}^{z_{n}} dt_{n}... dt_{2} dt_{1}= C_{n-1} \int _{-1}^h (1-t^2)^{(n-1)/2} dt, $

donde $ C_{n-1}= V_{n-1}(1) $ - el volumen de la unidad $(n-1)$ -bola de dimensiones,

$ z_i= (1- \sum_{j=1}^{i-1} t_j^2)^{1/2}$ .

Ahora podemos escribir

$ P_n(x)=_{def} \frac {V_n(x/n)} { V_n(1)} $ $ = \frac { C_{n-1}} { C_{n}}\int _{-1}^{x/\sqrt {n}} (1-t^2)^{(n-1)/2} dt. $

Que utilizando las fórmulas:

$ C_{2k}=\ 2^k /k!, C_{2k+1}= 2^{k+1} \pi ^k /(2k+1)!!, $ $ (2k)!!=2^k/k!, (2k+1)!!=n!/(2^k k!) $

y la aproximación de Stirling para los factoriales, no es muy difícil de conseguir:

$ C_{n-1}/ C_{n}= \sqrt{ \frac {n-1} {2 \pi}}$ (aquí pongo $ n=2k $ ).

Así, para $ n \to \infty $ :

$ P_n(x) \to \sqrt{ \frac {n-1} {2 \pi}} \int_{-1}^{x/\sqrt {n}} (1-t^2)^{(n-1)/2} dt, $

$ \frac {dP_n(x)}{dx} \to (2 \pi)^{-1/2} (1-x^2/n)^{(n-1)/2} \to (2 \pi)^{-1/2} \exp (- x^2 / 2) $

y $ P_{\infty}(x) =F(x) $ .