El límite de un $n$ -es un $n-1$ -manifold

Question

El siguiente problema es del libro "Introducción a las variedades topológicas".

Supongamos que $M$ es un $n$ -de la Tierra con límite.
Demuestre que el límite de $M$ es un $(n-1)$ -(sin límites) cuando está dotada de la topología del subespacio.

Hasta ahora he conseguido demostrar que el límite es un segundo espacio contable de Hausdorff (cuando está dotado de la topología del subespacio) pero estoy atascado en demostrar que es localmente homeomorfo a $\mathbb{R}^{n-1}.$

Answer 1

Dejemos que $x\in\partial M$ sea cualquier punto de la frontera de $M$ . Desde $M$ es una variedad con límite, existe una vecindad abierta $U$ de $x$ que es homeomorfo a un subconjunto abierto $V$ de $\mathbb H^n=\{ x\in\mathbb R^n : x_n\ge 0\}$ mediante un homeomorfismo $\phi: U\to V$ . Desde $x\in\partial M$ sabemos que $\phi(x)\in V\cap\partial\mathbb H^n$ es decir $(\phi(x))_n=0$ . Desde $\phi:U\to V$ es un homeomorfismo, se restringe a un homeomorfismo $$\phi^{-1}(V\cap\partial\mathbb H^n) \to V\cap\partial\mathbb H^n.$$ Sabemos que $V\cap\partial\mathbb H^n$ es abierto en la topología del subespacio en $\partial\mathbb H^n$ desde $V$ está abierto en $\mathbb H^n$ . Así, $V\cap\partial\mathbb H^n$ es una vecindad abierta de $\phi(x)$ en $\partial\mathbb H^n$ .

Ahora el barrio abierto $U\cap \partial M$ de $x$ en $\partial M$ es exactamente $\phi^{-1}(V\cap\partial\mathbb H^n)$ que, como hemos demostrado, es homeomorfo a un subconjunto abierto de $\partial\mathbb H^n\cong\mathbb R^{n-1}$ .

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En $\partial M$ : La definición más sencilla de $\partial M$ sería el conjunto de todos los puntos de $M$ que no tienen vecindades abiertas que sean isomorfas a conjuntos abiertos en $\mathbb R^n$ . Esto le da que cualquier gráfico de coordenadas $\phi:U\to V$ de una colector con una frontera tiene que enviar puntos de $\partial M$ a los puntos de $\partial \mathbb H^n=\{x\in\mathbb H^n : x_n=0\}$ ya que todos los demás puntos de $\mathbb H^n$ tienen barrios abiertos en $\mathbb R^n$ que puede ser retirado para abrir barrios en $M$ a través de $\phi$ .

Otra definición sería que $\partial M$ consiste en todos los puntos de $M$ que se asignan a puntos de $\partial\mathbb H^n$ a través de todos los gráficos de coordenadas (o equivalentes).

Answer 2

Un punto en un $n$ -manifold $M$ con límite está, por definición, contenido en un conjunto abierto homeomorfo a $\mathbb R^n$ o homeomorfo al semiplano superior $\mathbb R^n_{\ge 0} = \{ (x_1, ... , x_n) | x_n \ge 0 \}$ . Los puntos límite $u$ en $M$ son precisamente los puntos contenidos en un conjunto abierto homeomorfo al semiplano superior. A partir de esto se puede demostrar (por un argumento de contradicción) que $u$ debe tener coordenadas de la forma $u = (u_1, ..., u_{n-1}, 0)$ .

Para terminar la prueba sólo queda demostrar que $u$ tiene una vecindad $N$ que es homeomorfo a $\mathbb R^{n-1}$ . Para ello, tenga en cuenta que si $N$ es cualquier vecindad que contiene un conjunto abierto que es homeomorfo a un conjunto abierto $U$ en el medio plano superior. Sea $f$ denota un homeomorfismo entre $U$ y el conjunto abierto que contiene $u$ .

Tenga en cuenta que $B = \{(x_1, ...,x_{n-1}, 0) | x_i \in \mathbb R \}$ es homeomorfo a $\mathbb R^{n-1}$ y que es un subespacio del semiplano superior. Dado que $U$ es abierto en el semiplano superior se deduce que $U \cap B$ está abierto en $B$ . Para concluir la prueba basta con observar que $f(U \cap B)$ está abierto en $\partial M$ y contiene $u$ .