Relaciones de los ejes mayores de elipses inscritas en un triángulo

Question

Hace poco me encontré con una pregunta más o menos así:

En un triángulo con vértices (0,0), (6,0), (2,4) se inscribe una elipse tal que tenga la mayor área. Ahora se dilata, es decir, se amplía, manteniendo fijos su centro y su orientación, de modo que la nueva elipse triseca los lados del triángulo. ¿Cuál es la relación entre las longitudes de los ejes mayores de la nueva elipse y la anterior?

Y esto es lo que pude deducir de lo que sabía:

La elipse inscrita o "inelipse" de mayor superficie que puede inscribirse en un triángulo se denomina Steiner inellipse

y se conocen muchas de sus propiedades. Las propiedades que nos pueden ayudar aquí son que es tangente a los lados del triángulo en sus puntos medios, las longitudes de sus ejes se pueden determinar mediante la fórmula (g = longitud del semieje mayor, h = longitud del semieje menor)

$${g=\sqrt{a^2+b^2+c^2+2Z}/6}$$
$${h=\sqrt{a^2+b^2+c^2-2Z}/6}$$ donde

$${Z=\sqrt{a^4+b^4+c^4-(ab)^2-(bc)^2-(ca)^2}}$$

y el centroide del triángulo es su centro.

Así que ahora podemos encontrar los dos focos de la elipse por el concepto de que la bisectriz del ángulo formado por la normal y la tangente a la elipse en el punto pasa por el foco.

Así que simplemente encontramos las bisectrices de los ángulos en los 3 puntos de tangencia, porque conocemos las ecuaciones de las tangentes y normales allí, y luego encontramos los puntos de intersección de estas 3 bisectrices de ángulos.

Determinarán así 2 puntos que son los focos de la inelipse. Por tanto, la recta que los une debe ser el eje mayor de la elipse.

Ahora cuando extendemos la elipse para hacerla trisecar los 3 lados del triángulo pasa por 6 puntos conocidos, y sabemos de un camino encontrar la ecuación de una elipse única dados 5 puntos de la elipse. A partir de aquí podemos hallar la ecuación de la nueva elipse, y su eje mayor será la misma recta que el eje mayor de la elipse anterior porque sólo la hemos dilatado, manteniendo fija la orientación.

Pero ya conocemos la ecuación del eje mayor de la elipse anterior. Así que resolvemos la ecuación de la segunda elipse y la ecuación del eje mayor para obtener las coordenadas de los vértices de la elipse. Así conocemos también la longitud del eje mayor de la nueva elipse.

Ahora tenemos que encontrar el cociente de estas 2 longitudes.

Sin embargo esto es sólo lo que he pensado hacer, y sé que está perfectamente bien y funcionará, pero podría alguien decirme un mejor enfoque de tratar este problema. Porque aunque sé cómo hacerlo, implementarlo manualmente no sería una tarea fácil, y ciertamente no se puede hacer en cualquier sala de examen. Así que solicito encarecidamente a todos ustedes un método mejor y más corto, probablemente utilizando cualquier observación minuciosa que pueda ser útil y que yo esté pasando por alto.

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Damos por sentado que la inelipse que maximiza el área es la Steiner inellipse que es tangente a los lados del triángulo en sus respectivos puntos medios. También damos por supuesto que cualquier triángulo par tiene una elipse de sección lateral, y que esta elipse es una dilatación de la inelipse de Steiner con respecto a su centro (que coincide con el centroide del triángulo). Observamos, por tanto, que esto último indica que el objetivo de la pregunta sobre la relación de los ejes principales no es más que el factor de dilatación.

Ahora, he dado la versión corta de mi argumento como comentario a la pregunta.

Puesto que la elipse de Steiner de un triángulo arbitrario puede transformarse afinadamente en el círculo interior de un triángulo equilátero, y puesto que las transformaciones afines conservan las relaciones de longitudes de los segmentos paralelos, [basta] con resolver este problema en el caso equilátero[.].

Aquí lo explicaré un poco más en profundidad.

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En transformación afín desplaza puntos en el plano (o el espacio) con arreglo a reglas específicas. En concreto, (1) los puntos colineales se desplazan a puntos colineales; (2) las curvas tangentes se desplazan a curvas tangentes, y (3) relaciones de longitudes entre puntos colineales coinciden con las relaciones de longitudes entre los puntos desplazados correspondientes.

Podemos ver estas reglas en juego cuando observamos que una transformación afín puede mover los vértices de cualquier triángulo sobre los vértices de otro. En consecuencia, bajo tal transformación, por (1), los lados del triángulo original se mueven sobre los lados del objetivo; y, por (3), los lados del triángulo original se mueven sobre los lados del objetivo. puntos medios de los lados originales (definidos por la relación $1/2$ ) se desplazan a los puntos medios de los lados de los objetivos, y los puntos de intersección lateral (relación $1/3$ y/o $2/3$ ) se desplazan a puntos de intersección lateral. Además, de nuevo por (1), original medianas se mueven hacia las medianas objetivo y, por tanto, también del triángulo original centroide se desplaza al centroide del triángulo objetivo .

Tenemos más: La inelipse de Steiner del triángulo original se desplaza a la inelipse de Steiner del triángulo objetivo. ; esto se debe a que los puntos medios se mueven a los puntos medios, las curvas tangentes se mueven a las curvas tangentes, y se nos dice que la inelipse de Steiner es el elipse tangente a los lados de un triángulo en sus respectivos puntos medios. Además, la elipse de sección lateral del triángulo original se desplaza a la elipse de sección lateral del triángulo de destino .

Ahora, aquí está el truco: Se nos dice que la elipse de intersección lateral es una dilatación de la inelipse de Steiner en el centroide del triángulo $O$ es decir, para cualquier punto $P$ en la inelipse, y $P^\prime$ es donde $\overrightarrow{OP}$ cumple la elipse trisecante, entonces $|\overline{OP^\prime}|/|\overline{OP}|$ es una constante, el factor de dilatación. Pero ... las transformaciones afines conservan los centroides (como $O$ ); y conservan relaciones de longitudes de entre puntos colineales (como, por ejemplo, $O$ , $P$ , $P^\prime$ ); por lo tanto, Las transformaciones afines conservan el factor de dilatación entre las elipses de Steiner y las elipses de intersección lateral. Es decir:

Hay un factor de dilatación que funciona para todos los triángulos.

Aprovechamos esta ventaja para calcular el factor en el caso más conveniente: el triángulo equilátero.

En un triángulo equilátero (de lado, digamos, $6s$ ), la inelipse de Steiner es el círculo interior, de radio $s \sqrt{3}$ . La elipse de intersección lateral es un círculo de radio $2 s$ . Por lo tanto,

El factor de dilatación es $2/\sqrt{3} = 1.154\dots$ . $\square$

Answer 2

Como ya he esbozado en la pregunta (y luego he modificado la solución para acortarla en gran medida), podemos tener los siguientes pasos que conducen a la solución:

1. Podemos encontrar las perpendiculares a los lados del triángulo en el punto medio de los lados, de forma que éstas son las normales a la elipse en dichos puntos, ya que, al ser una inelipse, el lado del triángulo es tangente a ella.
2. Ahora encontramos las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos entre la tangente (lado del triángulo) y la normal a los lados del triángulo, y sus puntos de intersección (dos en número) darán los focos de la elipse.
3. Ahora que tenemos los focos podemos hallar la ecuación del eje mayor. Observa que esta recta es también el eje mayor de la elipse mayor.
4. Podemos hallar la ecuación del eje menor haciéndolo perpendicular al eje mayor en el centro de la elipse que es el centroide del triángulo.
5. Ahora encontramos los puntos de trisección de los lados del triángulo. Y como estos puntos se encuentran en la elipse mayor, utilizamos el último paso que es el paso 6.
6. Dado un punto $P$ en la elipse, si la distancia perpendicular de $P$ desde el eje mayor sea $q$ y la distancia perpendicular de $P$ del eje menor sea $p$ y las longitudes de los semiejes mayor y menor sean $a'$ y $b'$ respectivamente, entonces la ecuación de la elipse se puede escribir como, $${p^2/a'^2}+{q^2/b'^2}=1$$ y como el punto P con sus coordenadas y las ecuaciones de los ejes mayor y menor son conocidas, las únicas incógnitas son $a'$ y $b'$ que puede hallarse satisfaciendo esta ecuación para 2 de los puntos dados de la elipse mayor. Ahora que sabemos $a'$ y $g$ donde $g$ es la longitud del eje mayor de la inelipse, $a'/g$ será nuestra respuesta.

Este método no será demasiado largo excepto la parte en la que tenemos que encontrar las ecuaciones de la bisectriz del ángulo. Pero como algunos de ustedes señalaron, una transformada afín mata el problema, me gustaría ver por qué funciona.

Aunque me queda bastante claro por qué la inelipse del triángulo se corresponde con la circunferencia interior de un triángulo equilátero, no me queda claro por qué la circunferencia lateral del triángulo equilátero se corresponde con la elipse exterior del triángulo original. Espero con impaciencia la solución :)