Una conjetura sobre los números primos y álgebra

Question

Un monoid de morfismos $\psi:\mathbb Z_+\!\!\rightarrow\mathbb Z_+$ está definido por una función arbitraria $f:\mathbb Z_+\!\!\rightarrow\mathbb Z_+$ y se define un grupo de homomorphism $\varphi:\mathbb Q_+\!\!\rightarrow\mathbb Q_+$:

$\psi(a\cdot b)=\psi(a)\cdot\psi(b)\Rightarrow\psi(\prod p_i^{n_i})=\prod\psi(p_i)^{n_i}$, por lo que cualquier función de $i\mapsto \psi(p_i)$ define $\psi$. Además, puesto que la $\varphi(\frac{1}{n})=\frac{1}{\varphi(n)}$ una función de $f$ únicamente define el grupo homomorphism $\varphi$.

Para la diversión tengo la intención de estudiar el grupo de homomorphism generado por la función identidad $i\mapsto\omega(p_i)=i$. A continuación, $\omega:\mathbb Z_+\!\!\rightarrow\mathbb Z_+$ parece ser una expresión algebraica analógica a la metodología analítica con $\pi(N)$ ya que también se $\omega$ es una izquierda inversa para el primer número de la función $p_n$.

En el diagrama de $\omega$ es la curva azul y $\pi$ el rojo y uno puede ver (especialmente si la carga de la imagen y ver en una escala más grande) que $\omega(1)>\pi(1),\; \omega(35)>\pi(35)$$\omega(49)>\pi(49)$. De curso $\omega$ $\pi$ coinciden para todos los números primos, pero también para otros valores como $91,\;95$$133$. Sin embargo, he probado todos los valores menos de $2^{16}$ $\omega(N)\leq\pi(N)$ $N>49$ en este intervalo.

No tengo idea de cómo probar la conjetura (si es posible), pero voy a intentar construir un programa que (en principio) puede probar cualquier intervalo de números enteros.

Edit: ahora me doy cuenta de que es prácticamente imposible hacer un programa de este tipo, pero con la ayuda de las matrices de los primos de mi programa de haber probado todos los valores de $< 1\,000\,000$ y los únicos números para que $\omega(N)\geq\pi(N)$ (cursiva números significa '$>$') son:

$\mathit{1},\,9,\,15,\,21,\,25,\,\mathit{35},\,39,\,\mathit{49},\,57,\,65,\,91,\,95,\,133$.

Conjetura: Para $N=\prod p_k^{n_k}>49$ sostiene que $\prod k^{n_k}\leq\pi(N)$.

Reflexivo: a partir de una analítica punto de vista de la $\omega$ parece ser muy irregular, pero de manera algebraica es casi canónica de morfismos.

Answer 1

Aquí al menos es un buen comienzo en una solución. La estrategia es encontrar situaciones en las que podemos decir: si $\prod p_k^{n_k} \le x$ $\prod k^{n_k}$ es conocido por ser en la mayoría de las $\pi(x)$,$p_j \prod k^{n_k} \le \pi(p_j x)$.

Supongamos que $x\ge35$$y\ge10$, y establecer $\alpha=1.25506$. Entonces uno puede comprobar las desigualdades $$ \log x > 3.55 > \frac{\alpha y\log(y\log y\log\log y)}{y\log y-\alpha y}. $$ El uso de la Rosser-Schoenfeld límites $p_j > j\log j$$p_j < j\log j\log\log j$, que son válidos para $j\ge10$, podemos deducir que $$ \log x > \frac{\alpha j\log p_j}{p_j-\alpha j} $$ y esto también puede ser verificado por la mano de $5\le j\le 9$. Nos reorganizar esto a $$ \frac{p_jx}{\log p_jx} > j\frac{\alpha x}{\log x}. $$ El uso de la Rosser-Schoenfeld límites $\pi(x) > x/\log x$$\pi(x) < \alpha x/\log x$, ambos válidos para $x\ge17$, podemos deducir que $$ \pi(p_jx) > j\pi(x). $$ Así, hemos demostrado el siguiente: si $N\ge35$ satisface $\psi(N) \le \pi(N)$, e $j\ge5$, luego $$ \pi(p_jN) > j\pi(N) \ge j\psi(N) \ge \psi(p_j N) $$ así.

Esto muestra que una mínima contraejemplo a tu conjetura, si existe, debe ser un número de la forma $p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}p_4^{k_4}$, o más de un número de la forma $2p$, $3p$, ..., $35p$ o $49p$ para algunos prime $p$. Cada una de estas familias, probablemente puede ser tratado individualmente por métodos similares.

Answer 2

Se tomó un largo tiempo antes de comprender cómo Greg Martin lema $$N\ge17\wedge n\ge5\implies \pi(p_nN)>n\pi(N)$$ podría ser explotado. El método de la prueba del lema requerido $n\ge5$, pero el lema es cierto incluso para los $1\le n\le 4$, lo cual se confirma con una desigualdad de Pierre Dusart demostrado en 2010:

$\displaystyle \frac {x} {\ln x - 1} < \pi(x)$ $x \ge 5393$ , y $\displaystyle \pi(x) < \frac {x} {\ln x - 1.1}$ $x \ge 60184$ .

E. g. para $n=4$. Si $N$ es lo suficientemente grande: $3\ln N>11.7$ ¿por qué $\displaystyle\frac{\ln N+1}{7N}<\frac{\ln N-1.1}{4N}$ , lo que implica que $\displaystyle\frac{7N}{\ln N+1}>\frac{4N}{\ln N-1.1}.\;$ Ahora, debido a la Dusart, $\displaystyle\pi(7N)>\frac{7N}{\ln 7N-1}>\frac{7N}{\ln N+1}>\frac{4N}{\ln N-1.1}>4\pi(N)$. Todos los cuatro casos ($n=1,2,3,4$) ha sido probado en mi ordenador y lo mantiene para$N>7$$p_nN<1\,000\,000$, que es bastante grande. $\square$

El general lema es: $N\geq 17\implies\pi(p_nN)>n\pi(N)$. Cabe señalar que en la prueba de $N$ tiene que ser más grande, pero la prueba se complementa con las pruebas del equipo.

Por lo tanto, supongamos $\omega(x)\leq\pi(x)$ todos los $x<M=p_nN$, entonces si $N\ge17$ $\omega(p_nN)=n\omega(N)\leq n\pi(N)<\pi(p_nN)$. Si $N<17$ $p_n\geq17$ sostiene que $\pi(p_nN)>\pi(p_n)\omega(N)=\omega(p_n)\omega(N)=\omega(p_nN)$. El caso de la $N<17$ $p_n<17$ es cubierto por el equipo de la prueba de $(x>49)$. Así que la conjetura es demostrado por inducción.