Norma del vector en$\mathbb{R}^3$ con múltiples

Question

Si tenemos un vector en $\mathbb{R}^3$ (o cualquier espacio Euclidiano supongo), decir $v = (-3,-6,-9)$, entonces:

1. Que siempre pueda "factor" una constante a partir de un vector, como en este ejemplo como $(-3,-6,-9) = -3(1,2,3) \implies (1,2,3)$ o el constante ir siempre junto con el vector?
2. Si contestó sí en la pregunta 1, entonces si quiero calcular la norma, es el correcto cálculo el siguiente: $||v|| = |-3|\sqrt{14} = 3\sqrt{14}$ ? Si es así, es la única razón por la que tomamos el valor absoluto de -3 porque no queremos una duración negativa?

Lo siento si las cosas son obvias, pero sólo quiero asegurarme de que en realidad conseguir esta correctamente.

Saludos

Answer 1

Como regla, todo esto cae de la regla distributiva. Si$v=(ax,ay,az)$, luego $$ \begin{align}||v|| &= \sqrt{(ax)^2 + (ay)^2+(az)^2} = \sqrt{a^2(x^2+y^2+z^2)}\\ &=\sqrt{a^2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\end {align} $$

Y$\sqrt{a^2}=|a|$

Y sí, en última instancia, esto es todo porque queremos que las distancias sean positivas, pero también queremos que la norma esté bien definida. ¿Si$w=(1,-2,3)$, es$|w|=\sqrt{14}$ o$-\sqrt{14}$? No hay orientación aquí para elegir uno u otro.

Answer 2

La respuesta es sí a ambos.

1. Si tiene un vector$(v_{1},...,v_{n})\in\mathbb{R}^{n}$ y un número real$a\in \mathbb{R}$, entonces$(av_{1},...,av_{n})=a(v_{1},...,v_{n})$. Esta es la definición para la multiplicación de un vector por un número real.

2. Si$v\in\mathbb{R}^{n}$ y$a\in \mathbb{R}$, entonces siempre se mantiene que$\|av\|=|a|\cdot \|v\|$. En su caso de$\mathbb{R}^{3}$ y norma euclidiana, puede verlo, por ejemplo, como sigue. Si$v=(v_{1},v_{2},v_{3})\in\mathbb{R}^{3}$ y$a\in\mathbb{R}$, entonces \begin{equation*} \|av\|=\sqrt{(av_{1})^{2}+(av_{2})^{2}+(av_{3})^{2}}=\sqrt{a^{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2})}=|a|\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}=|a|\cdot\|v\|. \end {ecuación *}

Answer 3

La respuesta es sí a ambas preguntas. En cualquier espacio vectorial de vectores normados,$\|\alpha v\| = |\alpha|\|v\|$ para cualquier vector$v$ y escalar$\alpha$.

Answer 4

Comenzando con su pregunta 2., la relación general$\|\lambda v\| = |\lambda| \|v\|$ siempre se cumple. De eso puedes responder positivamente a tu primera pregunta (incluso si$\lambda$ es real)

Answer 5

Usted perfecto derecho a "factorise" un vector, como usted dice $(-3,-6,-9) = -3(1,2,3).$ lo importante aquí es que esta factorización muestra que los vectores $(-3,-6,-9)$ $(1,2,3)$ son linealmente dependientes. En el caso de dos vectores, esto significa que son vectores paralelos.

En general, los vectores $(\lambda x, \lambda y, \lambda z)$ $\lambda(x,y,z)$ son idénticas. La representan el mismo vector. Por otra parte, el vector $(\lambda x, \lambda y, \lambda z)$ es exactamente $\lambda$-a veces el vector $(x,y,z)$.

Esta es una buena manera de simplificar los cálculos, ya que:

$$||(\lambda x, \lambda y, \lambda z)|| = |\lambda| \cdot ||(x,y,z)|| \, . $$

Esta pregunta insinuación de un tema muy interesante: proyectiva del espacio. El plano proyectivo, que se denota por a $\mathbb{RP}^2$, se puede definir mediante una relación de equivalencia: $\mathbb{RP}^2 = \mathbb{R}^3\backslash \sim$ donde

$$(x_1,y_1,z_1) \sim (x_2,y_2,z_2) \iff \exists \ \lambda \neq 0 : (x_1,y_1,z_1) = \lambda(x_1,y_2,z_2) \, . $$

Las clases de equivalencia son denotados por coordenadas homogéneas $(x_1:y_1:z_1)$.