Cómo ver $x^3-17$ tiene un factor irreducible de grado 2 en $Q_{3}[x]$ ?

Question

Considere $Q_3$ campo que es un número racional $Q$ completado en $p=3$ (En otras palabras, $Q_3$ es $3-$ números racionales adictos). Sea $f=x^3-17\in Q_3[x]$ . Sea $O$ sea el DVR completo asociado a $Q_3$ .

Claramente $f\in O[x]$ . A partir del lema de Gauss por $O$ PID, veo que si $f=gh,g,h\in Q_3[x]$ entonces $g,h\in O[x]$ . Por lo tanto, puedo realizar $3-$ reducción al considerar $\frac{O}{3}[x]$ .

Ahora $\bar{f}\in Z_3[x]$ tiene $x^3+1=(x+1)^3\in Z_3[x]$ . Así que no puedo aplicar el lema de Hensel aquí para determinar el factor de $f$ en $Q_3[x]$ . El libro dice que tiene un factor irreducible de grado 2 en $Q_3[x]$ .

La otra versión de Hensel utiliza $f'(x)=3x^2$ . Y $x=-1$ rinde $3^2\vert f(-1)$ y $3^2\not\vert f'(x)$ pero $2=1+1$ . El valor absoluto requiere $|f(-1)|<|f'(-1)|^2$ donde $|x|$ es el $\frac{1}{3^{v_3(x)}}$ y $v_3(x)$ es $3-$ valoración adictiva de $x\in Q_3$ . Ambas partes ceden $\frac{1}{9}$ para el valor absoluto. Así que no puedo aplicar este levantamiento de hensel.

$\textbf{Q:}$ ¿Puede alguien proporcionar pistas sobre los métodos para determinar la reducibilidad de los campos locales? Si tengo suerte, puedo proceder por el lema de Hensel, pero requiere que los factores después de la reducción de primos sean coprimos. ¿He hecho algo mal?

Answer 1

Aquí hay un método de uso de Strong Hensel, que parece conocer:

El cúbico $X^3-17=f(X)$ tiene una raíz si y sólo si $f(X-1)=X^3-3X^2+3X-18$ tiene una raíz. El polígono de Newton tiene un vértice en $(1,1)$ , que ya te dice que hay una factorización.

Si no se siente cómodo con Newton , vaya un paso más allá y sustituya $3X$ para $X$ , para conseguir $f(3X-1)=27X^3-27X^2+9X-18=9\left(3X^3-3X^2+X-2\right)$ . Módulo $3$ obtenemos $3X^3-3X^2+X-2\equiv X-2\pmod3$ y esto tiene la bonita factorización $(X-2)\cdot1$ en dos factores relativamente primos. Se puede elevar uno de ellos a la característica cero, por Strong Hensel, preservando su grado. Por supuesto, se elige el $X-1$ . Y ahí lo tienes.

En caso de que le ponga nervioso el uso de $1$ como uno de los factores, permítame tranquilizarle. Esta libertad resulta sorprendentemente útil a menudo.

EDITAR : Apéndice

Has preguntado por la factorización de $f(X)=X^3-17$ modulo $3$ y por qué eso no contó la división de $(3)$ en $\Bbb Q(w)$ , donde $\text{Irr}(w,\Bbb Q[X])=X^3-17=f(X)$ . El teorema debería decir que el desdoblamiento del irreducible modulo $p$ cuenta el desdoblamiento de $(p)$ sólo cuando la raíz $r$ genera los enteros de $\Bbb Q(r)$ en $\Bbb Z$ . Y por supuesto $r=w$ no lo hace.