Pregunta del examen de primer año de ODE

Question

¿Cuáles son las funciones propias que satisfacen $$xy''(x) + (1-x)y'(x) + y(x) = -\lambda y(x)$$ en el intervalo $I = [0, \infty)$ dado que los valores propios son números naturales (enteros positivos) tales que $y(0) = 1$ ?

Esta pregunta estaba en el examen final de ODE de mi primer año de universidad y ni un solo estudiante fue capaz de resolverla. Estamos tratando de que se elimine de la nota del examen final, ¿tenemos un caso sólido o se trata de un material bastante "ordinario"?

Answer 1

Creo que, si te has encontrado con esto como estudiante de primer año, se supone que encuentras la solución como serie de potencia . En general, cuando se tiene una ecuación diferencial de la forma $$ N(x) y'' + M(x)y'+P(x)y=0 $$ con $N,M,P$ polinomios, y $N(x)$ sin raíces en el interior del dominio en el que quieres resolver tu EDO, entonces tu solución puede escribirse como una serie de potencias $y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n}$ (en este momento no se sabe cuál es el coeficiente $a_n$ van a ser). Creo que esto se enseña a los estudiantes bastante pronto, ¿no?

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Escribamos la EDO de forma ligeramente diferente

$$ \underbrace{xy''}_A+\underbrace{y'}_{B}-\underbrace{xy'}_{C}+\underbrace{m y}_D=0 $$ con $m$ un número entero positivo (aquí $m=1+\lambda$ ). Insertar la serie de potencias para $y(x)$ . Usted obtiene $$ \underbrace{\sum_{n=2}^\infty a_n n(n-1)x^{n-1}}_A +\underbrace{\sum_{n=1}^\infty a_n nx^{n-1}}_{B}-\underbrace{\sum_{n=1}^\infty a_n n x^n}_{C}+\underbrace{m\sum_{n=0}^\infty a_n x^n}_D=0 $$ O al manipularlo y reordenarlo se convierte en $$ m + a_1+\sum_{n=1}^\infty \Big[(n+1)^2a_{n+1}+(m-n)a_n\Big]x^n=0 $$ La condición $y(0)=1$ le da $a_0=1$ . Para hallar el resto de los coeficientes, hay que tener en cuenta que una serie de potencias es nula si el coeficiente de cada potencia es cero. Esto significa que $ a_1=-m$ y $$ (n+1)^2a_{n+1}=-(m-n)a_n $$ Ahora bien, hay que tener en cuenta que eventualmente (de hecho para $n=m$ ) el lado derecho de la ecuación anterior desaparece. El resultado es $a_{m+1}=a_{m+2}=\cdots = 0$ . En otras palabras, su solución es un polinomio. Más explícitamente, usted tiene una relación recursiva (para $n\leq m$ ) $$ a_n = -\frac{m -n +1}{n^2}a_{n-1}\Longrightarrow a_n = (-1)^{n-1}\frac{(m-1)!}{n!^2(m-n)!}a_1=(-1)^n {m\choose n}\frac{1}{n!} $$ En otras palabras, juntando todo esto la solución es $$ \boxed{ y(x):=L_m(x) = \sum_{n=0}^m (-1)^n {m\choose n}\frac{x^n}{n!}} $$ Este polinomio, como la gente mencionó en los comentarios se llama $m$ el polinomio de Laguerre pero probablemente no se espera que conozca el nombre. Encontrar la fórmula anterior debería haber sido suficiente para obtener todo el crédito probablemente.