¿Hay alguna manera de hacer sistemáticamente todas las pruebas delta epsilon?

Question

Si se quiere demostrar que el límite de $f(x)$ como $x$ a $a$ es igual a $L$ utilizando la definición épsilon-delta del límite, hay que resolver la desigualdad

$$|f(x)-L|<\epsilon$$

para $x$ , poniéndolo en la forma

$$|x-a|<\delta$$

para algunos $\delta$ que, en general, será una función de $\epsilon$ .

Mi pregunta es si hay alguna forma de calcular la función $\delta(\epsilon)$ , a falta de resolver la desigualdad anterior mediante la función $f$ ¿tienes?

¿Es posible al menos si $f$ ¿se comporta suficientemente bien? Como si $f$ es diferenciable, ¿se puede calcular $\delta(\epsilon)$ utilizando la derivada de $f$ ?

EDITAR: Este documento de la revista muestra una fórmula para los polinomios. Si $f(x) = \sum_{n=0}^{k} a_n (x-a)^n$ , entonces para demostrar que el límite de $f(x)$ como $x$ va a $a$ es igual a $f(a)$ podemos dejar que $\delta = min(1,\frac{\epsilon}{ \sum_{n=1}^{k} |a_n|})$ .

¿Se puede generalizar esto a las series de Taylor? Si $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$ entonces podemos demostrar que el límite de $f(x)$ como $x$ va a $a$ es igual a $f(a)$ dejando $\delta = min(1,\frac{\epsilon}{ \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|})$ ?

Answer 1

Supongamos que $f$ puede escribirse como una serie de potencias en torno a $0$ Es decir, que.., $f(x)=\sum_{i=0}^\infty a_n x^n$ para alguna secuencia $\{a_n\}$ . Examinaremos la continuidad de $f$ a cero. (Por supuesto, se podría desplazar la serie de potencias a algún otro punto y este análisis se aplicaría allí también).

También empezaremos asumiendo que $f$ tiene un radio de convergencia estrictamente mayor que $1$ Esto implica que $\sum |a_n|$ es convergente. Más adelante eliminaremos esta suposición. Dejemos que $P_n$ sea el $n$ La suma parcial de la serie. Fijar $\epsilon>0$ y que $\delta_n=\min\left(1, \frac{\epsilon/2}{\sum_{i=1}^n |a_i|}\right)$ . Entonces, según el documento vinculado, si $|x|<\delta_n$ entonces $|P_n(x)-a_0|<\epsilon/2$ .

Ahora, toma $\delta=\min\left(1, \frac{\epsilon/2}{\sum_{i=1}^\infty |a_i|}\right)$ . Entonces $\delta \leq \delta_n$ para todos $n$ . Por lo tanto, si $x<\delta$ entonces $|P_n(x)-a_0|<\epsilon/2$ para todos $n$ Es decir, que.., $P_n(x)$ se encuentra a la intemperie $(\epsilon/2)$ -bola alrededor $a_0$ para todos $n$ . Desde $\lim_{n \to \infty} P_n(x)=f(x)$ se deduce que $f(x)$ se encuentra en el cierre de esa bola. Es decir, tenemos $|f(x)-a_0|\leq \epsilon/2 < \epsilon$ siempre que $|x|<\delta$ . Así, para cualquier $\epsilon>0$ podemos hacer nuestro $\epsilon$ - $\delta$ prueba con $\delta=\min\left(1,\frac{\epsilon/2}{\sum_{i=1}^\infty |a_i|}\right)$ .

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Esto funciona cuando $f$ tiene un radio de convergencia suficientemente grande, pero ¿qué pasa con el caso general? En general, decir que $f$ puede escribirse como una serie de potencias en torno a $0$ es decir que tiene algunos radio de convergencia positivo. Es decir, $R=\frac{1}{\limsup (a_k^{1/k})}$ es positivo. Fijar algunos $r<R$ (para definirlo, podríamos tomar $r=R/2$ ).

Ahora, dejemos que $$g(x)=f(x/r)=\sum_{i=0}^\infty \left(\frac{a_n}{r^n}\right)x^n$$ Se trata de una serie de potencias con un radio de convergencia $R/r$ que es estrictamente mayor que $1$ por lo que podemos aplicar nuestro resultado anterior a $g$ . Es decir, dado cualquier $\epsilon>0$ , dejemos que $\delta_g=\min\left(1,\frac{\epsilon/2}{\sum_{i=1}^\infty |a_i|/r^i}\right)$ . Entonces, si $|x|<\delta_g$ , $|g(x)-a_0|<\epsilon$ .

Ahora, dejemos que $\delta=r\delta_g$ . Si $|x|<\delta$ entonces $x/r<\delta_g$ y así $|f(x)-a_0|=|g(x/r)-a_0|<\epsilon$ . De ello se deduce que, para cualquier $f$ que puede escribirse como una serie de potencias convergentes en una vecindad de $0$ podemos hacer nuestro $\epsilon$ - $\delta$ prueba con $\delta=r\delta_g=r\min\left(1,\frac{\epsilon/2}{\sum_{i=1}^\infty |a_i|/r^i}\right)$ .

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Esto responde a la pregunta de su edición. Para ser justos, debo decir que no creo que responda muy bien a tu pregunta inicial: ser igual a una serie de potencias convergentes en la vecindad de un punto es una propiedad muy restrictiva. (De hecho, creo que la respuesta eliminada, que funciona para cualquier función continuamente diferenciable, es en muchos aspectos superior a ésta...)

Answer 2

A continuación trato la cuestión de las series de potencia. Voy a utilizar su notación y asumir WLOG que $a=0.$

He aquí una solución sencilla para el general $\delta = \varphi(\epsilon)$ pregunta que utiliza una idea diferente. Supongamos que el radio de convergencia de la serie es $r\in (0,\infty).$ Entonces

$$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1},\,\,|x|<r.$$

Definir $D=\sum_{n=1}^{\infty}n|a_n|(r/2)^{n-1}.$ Entonces para $|x|<r/2,$ el teorema del valor medio da

$$|f(x)-f(0)| = |f'(c_x)||x| \le D|x|.$$

Así, $\delta = \min(r/2,\epsilon/D)$ es una solución.

Tenga en cuenta que como $r = 1/\limsup |a_n|^{1/n},$ realmente tenemos una fórmula para $\delta $ en función de $\epsilon$ que depende únicamente de los coeficientes $a_1,a_2, \dots.$ Obsérvese también que en el caso $r=\infty,$ podemos sustituir $r/2$ por $1$ en lo anterior, y todo pasa.

Ahora a su pregunta concreta: ¿ $\delta = \min(1,\epsilon/(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|))$ trabajo? La respuesta es sí, suponiendo que $\sum|a_n| < \infty.$

Prueba: Porque $\sum|a_n| < \infty,$ la serie de potencias que define $f$ tiene un radio de convergencia de al menos $1.$ Dejemos que $\epsilon>0.$ Establecer $\delta = \min(1,\epsilon/(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|)).$ Si $|x|<\delta,$ entonces

$$|f(x)-f(0)| = |\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n|\le \sum_{n=1}^{\infty}|a_n||x|^n$$ $$ = |x| \sum_{n=1}^{\infty}|a_n||x|^{n-1} \le |x| \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| <\epsilon.$$

Este resultado cubre todos los casos en los que el radio de convergencia es mayor que $1.$ Pero obviamente el resultado falla si $\sum|a_n| = \infty.$ Aquí estamos en el caso de que el radio de convergencia $r$ es un número en $(0,1].$ Esto puede ser manejado por la escala en el $\sum|a_n| < \infty$ situación, y luego se reduce la escala. Pero la respuesta no es tan sencilla en este caso. Como la respuesta de Micah ya cubre este argumento, lo omitiré aquí. (Tenga en cuenta que el primer método que mencioné, que implica $f'(x),$ no requiere este argumento de escala).

Answer 3

Para las funciones continuas en las que L=f(a), hay que encontrar de alguna manera una relación $$ |f(x)-f(a)|\le M |x-a|$$ donde $M$ depende de su $ x$ , $a$ y $\epsilon.$

Entonces quieres hacer $M\delta <\epsilon.$

El proceso va de trivial a muy complicado dependiendo de f(x).

Por ejemplo $f(x)=1/x$ y $a=0.25$ requiere mostrar $|1/x - 4| \le M|x-0.25|$ para algunos $M>0.$

Sabiendo que $|1/x-1/0.25|= \frac {|x-0.25|}{|0.25x|}$ y si $|x-0.25|<0.1$ entonces $0.25x>0.0375$ podemos elegir $M=1/.0375\approx 26.66,$ y elija $\ \delta = \min \{0.1,\epsilon /27\}$ . Por lo tanto, si $|x-0.25|<\delta $ entonces tenemos $|1/x-4|=\frac {|x-0.25|}{|0.25x|}<(\epsilon /27)(\frac{1}{0.0375})<\epsilon$

Answer 4

Sí, si uno puede encontrar un límite superior $B$ para $\left\vert\frac{f(x)-L}{x-a} \right\vert$ en algunos borrados $p$ -vecino de $a$ entonces $\delta=\min\left\{p,\frac{\epsilon}{B}\right\}$

Lemma: Si para algún $p>0$ y $x\in(a-p,a)\cup(a,a+p) $ es cierto que

$$\left\vert\frac{f(x)-L}{x-a} \right\vert\le B$$

para algunos $B>0$ entonces $\lim_{x\to a}f(x)=L$ .

Prueba: Sea $\epsilon>0$ .

Dejemos que $\delta=\min\left\{ p,\frac{\epsilon}{B}\right\}$ y $|x-a|<\delta$ . Entonces $|x-a|<p$ Así que $\left\vert\frac{f(x)-L}{x-a} \right\vert\le B$ . Además, $|x-a|<\frac{\epsilon}{B}$ . Así, $\vert f(x)-L|\vert<\epsilon$ . Así que $\lim_{x\to a}f(x)=L$ .

Este enfoque puede funcionar cuando la función no tiene una tangente vertical en $x=a$ .

Ejemplo: Prueba $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3+2x}{x+2}=3$

Entonces debemos encontrar un límite superior $B$ en algún intervalo sobre $a=2$ . Lo más sencillo es intentar primero $p=1$ y ajustar el valor más tarde si es necesario.

Así que tratamos de encontrar un límite superior $B$ en $\left\vert\frac{f(x)-L}{x-a} \right\vert$ en el plató $(1,2)\cup(2,3)$ .

Un poco de álgebra mostrará que $\left\vert\frac{f(x)-L}{x-a} \right\vert=\vert(x+1)^2+2\vert$ en $(1,2)\cup(2,3)$ . Desde $(x+1)^2+2$ es una parábola, cóncava hacia arriba con vértice $(-1,2)$ está aumentando en $(1,2)$ y $(2,3)$ por lo que tendrá su mayor valor, $18$ en $x=3$ . Por lo tanto, podemos dejar que $B=18$ .

Ahora dejemos que $\epsilon>0$ , $\delta=\min\left\{1,\frac{\epsilon}{18}\right\}$ y $\vert x-2\vert<\delta$ . Entonces $|x-2|<1$ así que $\vert(x+1)^2+2\vert=\left\vert\frac{\frac{x^2+2x}{x+2}-3}{x-2}\right\vert<18$ . Además, $|x-2|<\frac{\epsilon}{18}$ así que $|x-2|\cdot\left\vert\frac{\frac{x^2+2x}{x+2}-3}{x-2}\right\vert=\left\vert\frac{x^2+2x}{x+2}-3\right\vert<18\cdot\frac{\epsilon}{18}=\epsilon$

Así que $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3+2x}{x+2}=3$