$\gcd(c^a + 1, c^b + 1)$ para incluso$a$ y$b$?

Question

Siguiendo en esta pregunta, ¿cuál es el máximo Común Denominador de $c^a + 1$ $c^b + 1$ donde $a, b, c \in N$. Sé que para los impares a y b, tenemos $\gcd(c^a + 1, c^b + 1) = c^{\gcd(a, b)} + 1$ Gracias, Aleks Vlasev

También me pareció que por un extraño y b, incluso (o viceversa), el resultado es 1 o 0 dependiendo de par o impar.c.

El último caso sigue: Por tanto $a$ $b$ incluso: ¿Cómo puede $gcd(c^a +1, c^b+1)$ ser simplificado de tal manera que puede ser calculada más rápidamente?

He intentado adaptar esta respuesta a mi caso, pero no consiguió nada*. O tal vez yo debería ser el uso de Fermat poco teorema?

Editar:

Hice uso de la última vinculada respuesta a simplificar esto. Vamos a > b, $(c^b + 1, c^a + 1) = (c^b + 1, -c^{a-b} + 1)$.

Answer 1

Si $b=a$, entonces se tiene el caso trivial $c^b+1 = c^a+1$.

Ahora toma $b>a$ (sin pérdida de generalidad). Tenga en cuenta que $\gcd(r,s) \mid \gcd(r+s,r-s)$ % enteros todos $r,s$. Por lo tanto, aquí necesitamos consideramos\begin{align} &\gcd(c^b+c^a+2,c^b-c^a)\ &\qquad= \gcd(c^b+c^a+2, c^a(c^{b-a}-1)) \ &\qquad= \gcd\left(c^b+c^a+2, c^a(c-1)(c^{b-a-1}+c^{b-a-2}+\dotsb+1)\right). \end {Alinee el} ahora se pueden hacer un examen de factor por factor, por ejemplo, $\gcd(c^a,c^b+2)$.

EDICIÓN: Aviso que inmediatamente puede eliminar cualquier factores primeros impares de $c-1$, desde $\gcd(c-1,c^a+1)=1$ o $2$ porque es $a$. Por lo tanto, sólo tienes que considerar\begin{align} \gcd\left(c^b+c^a+2, c^a(c^{b-a-1}+c^{b-a-2}+\dotsb+1)\right). \end {Alinee el}

Answer 2

Deje $2^r$ ser la mayor potencia de 2 dividiendo $a$ $2^s$ la mayor potencia de 2 dividiendo $b$. Entonces si $r\ne s$, $\gcd(c^a+1,c^b+1)=2$ si $c$ es impar y 1 si $c$ es incluso. Por otro lado, si $r=s$, $\gcd(c^a+1, c^b+1)=c^{\gcd(a,b)}+1$.

Prueba: Supongamos $n>2$ es un factor de $c^a+1$$c^b+1$. A continuación, vamos a $k$ ser el menor entero no negativo tal que $n$ es un factor de $c^k+1$. A continuación, considerando las facultades de $c$ ($\bmod n$), está claro que $n$ es un factor de $c^t+1$ si y sólo si $t=(2r+1)k$ algunos $r$.

Por lo tanto $a$ $b$ deben ser múltiplos de $k$ $\frac ak$ $\frac bk$ tanto extraño. Esto significa que los mismos poderes de $2$ son factores de $a$$b$, e $k$ es un factor de $\gcd(a,b)$ $\frac{\gcd(a,b)}k$ impares, por lo $n$ es un factor de $c^{\gcd(a,b)}+1$. QED