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Question

ps

Dejar como $$ L= \lim_{x \to 1} \frac {x-1}{\log_e x} $

ps

aquí tenemos una fórmula$ x = h + 1, h = x - 1. $ $ ¿puedo usarla aquí?

Answer 1

Es solo$$\frac{1}{\frac{log_e(1+h)}{h}}=\frac{1}{1}=1$ $

Answer 2

Sí, puede usar$\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+x)}{x}=1$ tomando el valor inverso de la siguiente manera$$\lim_{h\to 0}\frac{h}{\log(h+1)}=\lim_{h\to 0}\left(\frac{\log(1+h)}{h}\right)^{-1}=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\log(1+h)}{h}\right)^{-1}=(1)^{-1}=\color{red}{1}$ $

Answer 3

Pensé que podría ser instructivo para presentar otra forma de avanzar.

En ESTA RESPUESTA y ESTE me mostró, sin el uso de cálculo, que el logaritmo de la función satisface las desigualdades

$$\frac{x-1}{x}\le \log(x)\le x-1$$

para $x>0$. Por lo tanto, podemos escribir para $x>1$

$$1 \le \frac{x-1}{\log(x)}\le x$$

y para $0<x<1$

$$x \le \frac{x-1}{\log(x)}\le 1$$

con lo cual, aplicando el teorema del sándwich se obtiene el resultado de la $1$.