Consideremos la situación general en la que tenemos un $E$ -espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ y una forma hermitiana $q$ en $V$ . Entonces (con respecto a alguna base) la forma viene dada por una matriz $\Phi \in M_{n \times n}(E)$ Satisfaciendo a ${}^t \Phi = \overline{\Phi}$ .
Un teorema de Landherr muestra que la clase de equivalencia de $(V, q)$ está determinada por la clase de $\det(\Phi)$ en $F^\times / N_{E/F}(E^\times)$ que tiene orden 2, por la teoría de campo de clase local. El grupo unitario unido a $\Phi$ sólo depende de $\Phi$ hasta escalares, por lo que depende de la clase de $\det(\Phi)$ en $F^\times / [N_{E/F}(E^\times) \cdot (F^\times)^n]$ en particular, si $n$ es impar sólo hay una posibilidad.
Ahora escribamos algunos grupos unitarios. Sea $H(n)$ denotan el grupo unitario "estándar" para el que $\Phi$ está fuera de la diagonal. Entonces $H(n+1)$ contiene $H(n)$ como subgrupo, y $H(2)$ contiene el subgrupo $\left\{\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x^{-1} \end{pmatrix}: x \in F^{\times}\right\}$ que no es compacto. Así que $H(n)$ no es compacto para cualquier $n \ge 2$ (obviamente es para $n = 1$ ). En particular, cualquier grupo unitario de rango impar $\ge 3$ no es compacto.
Incluso para $n$ Hay algunas posibilidades más. Dejemos que $V_{m, \alpha}$ sea el espacio hermitiano (único hasta el isomorfismo) de rango m que realiza la clase no trivial en $F^\times / N_{E/F}(E^\times)$ . Por la singularidad, $V_{m, \alpha}$ debe ser isomorfo a $V_{1, \alpha} \oplus V_{m-1, 1}$ por lo que el grupo unitario asociado contiene $H(m-1)$ como subgrupo, y por tanto es no compacto si $m \ge 4$ .
Así que el único caso que no hemos resuelto es el grupo unitario de rango 2 "excepcional" $U$ que tiene $\Phi = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\alpha \end{pmatrix}$ , donde $\alpha$ es un elemento de $F^\times$ que no es una norma de $E^\times$ . Dejemos que $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ sea un elemento de este grupo. Entonces $a\overline{a} - \alpha c \overline{c} = b\overline{b} - \alpha d\overline{d} = 1$ . Si $c$ es muy grande podemos escribirlo como $$ a \overline{a} = \alpha c \overline{c} \left(1 + \frac{1}{\alpha c \overline{c}}\right).$$ Si $c$ es lo suficientemente grande, entonces $\left(1 + \frac{1}{\alpha c \overline{c}}\right)$ será una norma (ya que la imagen del mapa de la norma es un subgrupo abierto de $F^\times$ ), lo que no tiene sentido, ya que $a \overline{a}$ es una norma y $\alpha c \overline{c}$ no lo es. Esto obliga a $c$ para estar en un subconjunto compacto de $E^\times$ . Del mismo modo, escribiendo la ecuación como $\alpha c \overline{c} = a \overline{a}(1 - 1/a\overline{a})$ muestra que $a$ se encuentra en un subconjunto compacto. Del mismo modo, $b$ , $d$ se encuentran en subconjuntos compactos y, por tanto, este grupo unitario excepcional es efectivamente compacto.
En resumen, un grupo unitario de rango $n$ sobre un campo local es siempre compacto si $n =1$ , si $n=2$ es compacto si y sólo si $-\det(\Phi)$ no es una norma de $E$ y si $n \ge 3$ nunca es compacto.
