Probabilidad de que dos enteros aleatorios tengan solo un factor primo en común

Question

La probabilidad de que dos enteros elegidos al azar son relativamente primos es conocido por ser $1/\zeta{(2)}=6/\pi^2\approx0.607927...$. Generalizando, la probabilidad de que $n$ aleatorios enteros $\gcd=1$$1/\zeta{(n)}$.

¿Cuál es la probabilidad de que dos enteros aleatorios tienen uno (y sólo uno) el primer factor en común? Hice algunos cálculos y obtuvo la fórmula $\displaystyle\frac{P(2)}{\zeta(2)}=0.274933...$ donde $P(n)$ es el primer zeta función. En general, supongo que la probabilidad de que $n$ aleatorios enteros tienen sólo un primer factor en común es $\displaystyle\frac{P(n)}{\zeta(n)}$.

Yo estaría interesado en tener la confirmación de estos resultados, y en la obtención de una prueba formal. También me gustaría obtener una generalización que expresan la probabilidad de que $n$ enteros al azar tienen exactamente $k$ números primos en común.

Answer 1

Fix $n\ge2$ y fijar un conjunto finito de números primos $p_1,\dots,p_k$. La probabilidad de que $n$ enteros "al azar" tienen factores primos $p_1,\dots,p_k$ en común y ningún otro de los números primos es $$ \frac1{(p_1\cdots p_k)^n} \prod_{p\noen\{p_1,\dots,p_k\}} \bigg( 1-\frac1{p^n} \bigg) = \frac1{(p_1^n-1)\cdots(p_k^n-1)\zeta(n)}. $$ Esto puede ser demostrado de la manera habitual: recuento de la proporción de $n$-tuplas $(m_1,\dots,m_n)$ con esta propiedad, donde cada una de las $1\le m_j\le M$, y deje $M$ ir hasta el infinito.

De ello se deduce que la probabilidad de que $n$ enteros "al azar" tienen exactamente $k$ factores primos en común $$ \frac1{\zeta(n)} \sum_{p_1<\cdots<p_k} \frac1{(p_1^n-1)\cdots(p_k^n-1)}. $$ Por ejemplo, cuando se $k=1$, obtenemos $$ \frac1{\zeta(n)} \sum_p \frac1{p^n-1} = \frac1{\zeta(n)} \big( P(n) + P(2n) + P(3n) + \cdots \big). $$ Al $k=2$, obtenemos $$ \frac1{\zeta(n)} \frac12 \bigg( \bigg( \sum_p \frac1{p^n-1} \bigg)^2 - \sum_p \frac1{(p^n-1)^2} \bigg). $$