Buena base para las representaciones de grupos de Lie?

Question

En $SU(2)$, todo el peso de multiplicidades de irreps son cero o uno, por lo que podemos definir una base donde cada vector (definido modulo reescalado) está marcado únicamente por su peso. Sin embargo, en $SU(3)$ esto ya no funciona, ya que el peso cero en el adjunto de la representación tiene multiplicidad 2. En este caso, ¿cómo se puede distinguir?

Uno pensaba que tenía que podría funcionar para finito dimensionales Mentira grupos es elegir un peso máximo de vectores y, a continuación, utilizar la reducción de los operadores para producir a partir de este vector en una base para el conjunto de la representación. Mirando el Kostant fórmula para el peso de la multiplicidad, sin embargo, es probable que se produzca una overcomplete base. Hay una manera, quizás, a la orden de la reducción de los operadores de que esto no suceda?

También me gustaría hacer esta pregunta para finitos grupo de representaciones, pero tal vez esto es suficiente por ahora.

Answer 1

El contexto general es esta: usted tiene un espacio vectorial $V$ y los desplazamientos conjunto de diagonalizable operadores que actúan en $V$. Si el común de los subespacios propios son unidimensionales, entonces cualquier elección de autovectores le da una base, y diferentes opciones difieren sólo por la diagonal en la matriz de cambio de base. Pero si algunos de los subespacios propios han de grandes dimensiones, ¿cómo se debe encontrar "natural" de los elementos?

La filosofía general es que se debería ampliar el conjunto de desplazamientos de los operadores, con el fin de encontrar un conjunto de desplazamientos de los operadores lo suficientemente grande como para que los subespacios propios son todos unidimensional. En teoría de la Mentira, las dos más conocidas situaciones en las que esto ocurre son Jucys-Murphy-Joven bases de las representaciones del grupo simétrico, y Gelfand-Tsetlin bases de las representaciones de la general lineal de los grupos (o de otro tipo de grupos). Todo esto está estrechamente relacionado con la filosofía en la integración de sistemas; de hecho, muchos muy interesante integrar sistemas (por ejemplo, los de Calogero-Moser tipo) puede ser estudiado a través de la representación de la teoría de herramientas. Jack y Macdonald polinomios surgir de esta manera.

En la mayoría de los bien estudiados situaciones, el patrón para la producción de grandes conmutativa las familias de los operadores es el siguiente: usted tiene una torre de (no-conmutativa) álgebras de $$A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \cdots$$ and you attempt to study the restriction/induction rules for this tower. You realize that there are some obvious elements in the centralizer of $A_{n-1}$ inside $A_{n}$, which therefore produce endomorphisms of the restriction/induction functors. Collecting together all these "obvious" elements (for all $m \leq n$) in the various centralizers gives you a commutative subalgebra, of $A_n$, que a veces es lo suficientemente grande como para tener una dimensión de subespacios propios. Esto sucede en la Gelfand-Tsetlin y Jucys-Murphy-Joven ejemplos mencionados más arriba.