¿Si tengo una variable $X$ cuya distribución Gausiana es conocido y $f$ sea una función conocida, hay una forma para calcular la distribución de los $f(X)$ es decir, la distribución gaussiana resultante de esto?
¿Resulta realmente una distribución gaussiana?
Abordar la última pregunta en particular --
1) Considere el $X$ de Gauss estándar (media 0, varianza 1), y $U = \Phi(X)$ donde $\Phi()$ es el estándar normal de la cdf. Qué $U$ tiene una distribución de Gauss? Vamos a simular (en R en este caso):
u <- pnorm(rnorm(100000L))
hist(u,n=300)
... nope.
De hecho, usted puede averiguar que debe ser uniforme estándar.
2) Considerar la $X$ de Gauss estándar (media 0, varianza 1), y $Y = f(X) = X^2$.
Qué $Y$ tiene una distribución de Gauss? Vamos a simular (en R):
y <- rnorm(100000L)^2
hist(y,n=300)
¿y qué vemos?
... nope.
De hecho, usted puede averiguar que la chi-cuadrado(1).
En determinadas circunstancias, ciertos resultados implican que usted puede obtener un aproximado de la distribución Gaussiana... pero no es el caso general. Por ejemplo, si la media es cuántas desviaciones estándar de 0, (por ejemplo,$X\sim N(5,0.1^2)$), $Y=X^2$ es de al menos aproximadamente normal:
y <- rnorm(100000L,5,.1)^2
hist(y,n=300)
... y del mismo modo $\exp(X)$, e $X^{1/3}$$log(X^2+\sqrt\pi)$, y toda una colección de animales salvajes de otras transformaciones, también dará aproximadamente de distribución Gausiana en este caso.
Editar:
Usted obtener exacto de la normalidad si usted transformar una variable aleatoria Gaussiana con una transformación lineal, entonces, como @DilipSarwate puntos, si $X$ es Gaussiano, $Y = a+bX$ es de Gauss (en el caso de $b=0$, que fue discutido por @gung y @whuber en los comentarios es "degenerado", pero por lo general todavía se cuenta como Gaussiana cuando se considera el conjunto de la ubicación de la escala de la familia de Gaussianas).
No es el caso que se puede llegar a una normal sólo por la transformación lineal, aunque si usted está restringida a transformaciones monotónicas, creo que este será el caso.
Una transformación no lineal de una normal que los rendimientos normales:
Deje $X$ estándar de Gauss. Deje $F_1$ ser el cdf de una $\chi^2_1$ variable aleatoria y $\Phi$ ser el cdf de una normal estándar. A continuación, $\Phi^{-1}(F_1(X^2))$ es una no lineal (y no monotónica) transformación de la $X$ cuando la resultante variable aleatoria es Gaussiano.
y <- qnorm(pchisq(rnorm(100000L)^2,1))
hist(y,n=200)
Respecto de la primera pregunta, de si $Y=h(X)$ usted puede, en principio, el trabajo de la distribución de $Y$. Si $X$ es continua y $h$ es invertible, que es como sigue:
Si $F_X$ es la cdf de $X$$P(Y\leq y) = P(h(X)\leq y) = P(X\leq h^{-1}(y)) = F_X(h^{-1}(y)))$.
A partir de ahí uno puede trabajar en la densidad de la diferenciación, que conduce a la norma el resultado:
$$f_Y(y)= f_X(h^{-1}(y)) \left|\frac{d h^{-1}(y)}{dy}\right|$$
En otros casos las cosas son más complicadas, pero en algunos casos aún puede ser factible.
Creo que estás hablando de cambio de variables.
Si X es un continuo r.v. con pdf $f_X(x)$ y un espacio muestral S, si $g: S \rightarrow T$ es invertible transformación con inversa diferenciable $h = g^{-1}$, e $Y = g(X)$, entonces Y es un continuo r.v. con pdf $f_Y(y)$ definido por
$f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|$.
Por ejemplo, supongamos $X \sim exp(\lambda)$, ¿cuál es la distribución de $X^2$?
Pues bien, aquí tenemos a $g: (0,\infty) \rightarrow (0,\infty)$ definido por $g(x) = x^2$. A la inversa si $h(y) = g^{-1}(y) = \sqrt y$
A continuación,$h'(y) = 0.5 y^{-1/2}$.
La densidad de X es$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}$$f_X(h(y)) = \lambda e^{-\lambda \sqrt y}$.
Y, finalmente, multiplicando por la derivada da $$ f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)| = \lambda e^{-\lambda \sqrt y} \cdot 0.5 y^{-1/2} $$
Esto se simplifica a $$f_Y(y) = \frac{\lambda e^{-\lambda \sqrt y}}{2\sqrt y}$$
No es su densidad para una función de una variable aleatoria.
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