¿Solución ecuación diferencial más corto?

Question

Estoy buscando un camino más corto encontrar una solución máxima para la ecuación diferencial $$y''-2y'+y=xe^x+e^x\cos(x)$$ $% $ $y(0)=y'(0)=1$en un principio esperaba podía convertir el lado derecho a $e^x(g(x))$ con g (x) polinomio, pero eso no funciona hacia fuera. Así mis caminos llegar a ser muy larga (con solución $e^x(x^3/6-\cos(x)+2)$). Agradeceria cualquier ayuda.

Answer 1

Indirecta: $$y''-2y'+y=xe^x+e^x\cos(x)$ $ $$e^{-x}(y''-2y'+y)=x+\cos(x)$ $ desde $$(ye^{-x})''=(y'e^{-x}-ye^{-x})'=y''e^{-x}-2y'e^{-x}+ye^{-x}\ ,$ $ después poniendo %#% llegar $z:=y e^{-x}$ $ #%

Answer 2

El método que se usa aquí es el método de coeficientes indeterminados. Para que una función producir $e^{x}(\cos(x))$ usted debe comenzar con una función de la forma $y_1 = Ae^x\sin(x) + B e^x \cos(x)$, luego de aplicar la ecuación diferencial, a continuación, aislar y resolver los coeficientes.

Lo mismo va para $xe^x$, usted debe tratar de una función de la forma $y_2=(Ax^2+Bx+C)e^x$ luego resuelve $A,B,C$ después de aplicar la ecuación diferencial.

Finalmente, la parte fácil es la solución de la homogénea de la ecuación diferencial, la cual le da dos soluciones $y_a$$y_b$.

La solución general será de la forma $y= C_1 y_a + C_2 y_b + y_1 + y_2$.

Answer 3

Sugerencia: Considera tanto $$ y '-2y' + y = xe ^ x \to y_1 \ y''-2y' + y = xe ^ {ix} \to y_2 $$ una solución de la ecuación es $y_1 + \Re y_2$.

Answer 4

Dado a resolver

$$ y" - 2y' + y = x \exp(x) + \exp(x) \cos(x). $$

Tenga en cuenta que

$$ \exp(x) \frac{d}{dx} \frac{d}{dx} \Big( \exp(-x) y \Big) = y" - 2 y' + y, $$

así obtenemos

$$ y" - 2 y' + y = \exp(x) \frac{d}{dx} \frac{d}{dx} \Big( \exp(-x) y \Big) = x \exp(x) + \exp(x) \cos(x), $$

de dónde

$$ y = \exp(x) \int dx \int dx \Big( x + \cos(x) \Big) $$

$$\begin{eqnarray} y &=& \exp(x) \int dx \int dx \Big( x + \cos(x) \Big) \\&=& \exp(x) \int dx \Big( \tfrac{1}{2} x^2 + \sin(x) + C_1 \Big)\\&=& \exp(x) \Big( \tfrac{1}{6} x^3 - \cos(x) + C_1 x + C_2 \Big) \end{eqnarray}.$$ Note that $$ y' = y + \exp(x) \Big( \tfrac{1}{2} x^2 + \sin(x) + C_1 \Big).$$ So $y(0)=1$ implies $C_2=2$ and $y'(0)=1$ implies $C_1=0$. So $$ y(x) = \exp(x) \Big( \tfrac{1}{6} x^3 - \cos(x) + 2 \Big)$$

Answer 5

$$y=ge^x\to y''-2y'+y=(g''+2g'+g)e^x-2(g'+g)e^x+ge^x=g''e^x$ $ Soluciones tales que $y(0)=g(0)=y'(0)=g'(0)+g(0)=0$ (estado de reposo inicial): $$g''=x\to g'=\frac{x^2}2\to g=\frac{x^3}6$ $ $$g''=\cos x\to g'=-\sin x\to g=1-\cos x$ $ solución General de la ecuación homogénea, con condiciones $g(0)=g'(0)+g(0)=1$: solución completa de $$g''=0\to g'=a=0\to g=b=1$ $: $$g=\frac{x^3}6+(1-\cos x)+1$ $ $$y=e^x(\frac{x^3}6-\cos x+2)$ $