Números trascendentales

Question

¿No es difícil ver debe ser un infinito incontable de números transcendental - pero nadie aún ha que hay una infinidad incontable de números transcendental algebraico independientes?

Answer 1

Supongo que estamos hablando de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ como una extensión de $\mathbb{Q}$. La transcendance grado de una extensión se define como la cardinalidad del conjunto maximal de algebraicamente independiente de los números. Zorn lema asegura que esta máxima se establece existir siempre yo.e para cualquier extensión de campo ; también permite probar que dos de los máximos conjuntos tienen la misma cardinalidad. En el caso de $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ (o $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$) esta máxima del conjunto es incontable. Para demostrarlo basta tener en cuenta que por encima de cualquier $\alpha$ trascendental $\mathbb{Q}$ uno puede encontrar contables muchos $\mathbb{Q}$ algebraicamente dependientes de los números, simplemente porque $\mathbb{Q}$ es contable.

Answer 2

Supongamos que hay countably muchos trascendental números que pueden ser utilizados de manera algebraica para construir todos los números reales. Todas esas expresiones que representan reales puede ser escrita en forma específica con un alfabeto finito (escribir los polinomios en la notación habitual con las constantes de haber integral de los subíndices que representa algebraicamente independiente trascendental números). Sólo hay countably muchos finito de expresiones en un lenguaje finito. Así que, a continuación, un contable número de expresiones mapas en los reales, y por lo tanto los reales son contables.