Existencia de vecindades equilibradas en un espacio vectorial topológico

Question

Me pregunto lo siguiente:

Dejemos que $\ X $ sea un espacio vectorial topológico. Entonces uno podría escoger vecindades equilibradas $\ W $ y $\ U $ de $\ 0 $ tal que

$\ \overline{U} + \overline{U} \subset W $ , donde $\ U+U:=\{u_1 + u_2 | u_1,u_2 \in U \} $

Me enfrenté a esta pregunta mientras leía el "Análisis Funcional" de Rudin. Soy capaz de demostrarlo, pero creo que debería haber una forma más elegante y sencilla de hacerlo.
En la lista están las propiedades que he utilizado:

• utilizando la continuidad de $\ + $ se puede demostrar fácilmente que existe $\ U, W $ como en el caso anterior, de manera que $\ U+U \subset W $
• Utilice que todo espacio vectorial topológico tiene una base local equilibrada (local significa aquí en $\ 0 $ .)
• Si $\ \mathcal{B} $ es una base local (en el sentido anterior) para un espacio vectorial topológico $\ X $ entonces cada miembro de $\ \mathcal{B} $ contiene el cierre de algún miembro de $\ \mathcal{B} $ .
• y la última propiedad que utilicé fue $\ \overline{U_1} + \overline{U_2} \subset \overline{U_1+U_2} $ donde $\ U_1,U_2 \subset X $

Como puedes ver necesito mucha teoría/propiedades básicas sobre los espacios vectoriales topológicos y me pregunto si no hay una manera más fácil. Gracias por las sugerencias.

Saludos

matemáticas

Answer 1

Tengo que estar de acuerdo con Theo en que no hay manera más fácil de demostrar esto, que a partir de los primeros principios de la definición de los espacios vectoriales topológicos. Puedes encontrarlo como parte del teorema 3.1 en el libro

• Francois Treves: "Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos"

(Al menos en la edición de 1967 que yo tengo. Veo que el contenido del capítulo 3 es diferente en google books). De todos modos, si sientes la necesidad de cotejar tu propia prueba, puedes buscarla allí.

Es el primer teorema no trivial basado en la definición de TVS.