existencia de grupos hiperbólicos

Question

Entiendo perfectamente que el lema de Schwarz de Milnor me dice eso enrejado cocompact de semisimple grupos de Lie de mayor rango no son hiperbólicos (en el sentido de Gromov).

Pero ¿existen noncocompact enrejados en mayor rango semisimple mentira los grupos hiperbólicos? (wikipedia está diciendo "no" sin ninguna referencia, pero no confío en que el artículo ya que contiene errores...)

Answer 1

Si su entramado no es irreducible, contiene $\mathbf{Z}^2$ y listo. De lo contrario, Margulis' arithmeticity y Lubotzky-Mozes-Raghunathan implica, para un no-cocompact de celosía, que contiene de manera exponencial elementos distorsionados y esto no es posible para un grupo hiperbólico. Edit: como alternativa, en la irreductible caso, puede utilizar Kazhdan-Margulis del teorema de que los cocientes de las redes por los no-central subgrupos finitos. En contraste, no primarias hiperbólico grupos tienen un montón de cocientes por la infinita subgrupos que son infinitas. De todos modos, ambos enfoques hacer uso de bonita no trivial resultados.

Answer 2

Usted hizo una pregunta relacionada con la en otro post, y te borran la pregunta, mientras yo estaba publicando una respuesta. Así que a publicar aquí. La pregunta es complementaria a la anterior, así que creo que es relevante incluir la respuesta: ¿por qué no uniforme de las rejillas en el rango 1 simétrica espacios de noncompact tipo hiperbólico, excepto en el caso del plano hiperbólico? Aquí está mi respuesta.

Creo que es un resultado de Garland y Raghunathan (Anales De 1970, "Los dominios..."). Ellos muestran que, dada una rejilla, para algunos el punto de $\omega$ en el infinito, el estabilizador de la $\omega$ en el entramado de actos cocompactly en cada horosphere basado en $\omega$. Este horosphere se basa en un $(n-1)$-dimensional simplemente conectado nilpotent Mentira grupo, donde $n$ es la real dimensión de la clasificación 1 simétrica espacio de la no-compacto tipo. Por lo tanto el uniforme de celosía contiene a f.g. nilpotent grupo de Hirsch longitud de $n-1$. Esto es posible en una hiperbólica grupo sólo si $n\le 2$. (Nota: si $n\ge 3$, se deduce que la rejilla contiene un libre abelian grupo de rango 2.) Resultados más precisos acerca de la estructura de estas celosías fueron formalizados en el concepto de relativamente hiperbólico de los grupos, consulte Gromov, Farb, etc. Ellos indican que, intuitivamente, estos "periférica" subgrupos son el único obstáculo para hyperbolicity.