Límite con exponenciales y arctangente sin L'Hôpital

Question

$$\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{e^{2x}-1}$$ ¿Cómo hacerlo sin L'Hôpital y demás? $\arctan x=y$ entonces lo reescribimos como $\lim_{y\to0}\frac y{e^{2\tan y}-1}$ pero a partir de aquí estoy atascado.

Answer 1

He pensado que podría ser instructivo presentar un camino que vuelva a lo "básico". En este caso, sólo nos basamos en desigualdades elementales y en el teorema del estrujamiento. Para ello, procedemos con una cartilla.

CARTILLA SOBRE UN CONJUNTO DE DESIGUALDADES ELEMENTALES:

En ESTA RESPUESTA En el caso de la función exponencial, demostré utilizando sólo la definición de límite de la función exponencial y la desigualdad de Bernoulli que la función exponencial satisface las desigualdades

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{1+x\le e^x\le \frac{1}{1-x}} \tag 1$$

para $x<1$ .

Y en ESTA RESPUESTA Demostré usando sólo desigualdades elementales de la geometría que la función arctangente satisface las desigualdades

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}\le |\arctan(x)|\le |x|} \tag 2$$

para todos $x$ .

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Utilizando $(1)$ y $(2)$ podemos escribir para $1>x>0$

$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}\left(\frac{2x}{1-2x}\right)}\le \frac{\arctan(x)}{e^{2x}-1}\le \frac{x}{2x} \tag 3$$

con lo que aplicando el teorema de la compresión a $(3)$ encontramos que

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\arctan(x)}{e^{2x}-1}=\frac12$$

Del mismo modo, utilizando $(1)$ y $(2)$ para $x<0$ podemos escribir

$$\frac{x}{\left(\frac{2x}{1-2x}\right)}\le \frac{\arctan(x)}{e^{2x}-1}\le \frac{x}{\sqrt{1+x^2}\,\left(2x\right)} \tag 4$$

con lo que aplicando el teorema de la compresión a $(4)$ encontramos que

$$\lim_{x\to 0^-}\frac{\arctan(x)}{e^{2x}-1}=\frac12$$

Como los límites de los lados derecho e izquierdo son iguales podemos concluir que

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to 0}\frac{\arctan(x)}{e^{2x}-1}=\frac12}$$

Answer 2

Otra forma de utilizar la serie de Taylor $$\tan^{-1}(x)=x-\frac{x^3}{3}+O\left(x^4\right)$$ $$e^{2x}-1=2 x+2 x^2+\frac{4 x^3}{3}+O\left(x^4\right)$$ $$\frac{\tan^{-1}(x) } {e^{2x}-1 }=\frac{x-\frac{x^3}{3}+O\left(x^4\right) } {2 x+2 x^2+\frac{4 x^3}{3}+O\left(x^4\right) }=\frac{1-\frac{x^2}{3}+O\left(x^3\right) } {2 +2 x+\frac{4 x^2}{3}+O\left(x^3\right) }$$ Realización de la división larga $$\frac{\tan^{-1}(x) } {e^{2x}-1 }=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}+O\left(x^3\right)$$ que muestra el límite y cómo se aproxima a él.