Ecuación que contiene la suma de cuadrados

Question

Tengo una pregunta para la siguiente ecuación:

ps

donde$$ a^{2} + c^{2} = p (b^{2} + d^{2}) + 1 ,$ son números enteros, y$a, b, c, d$ es número primo tal que$p$ Mi pregunta es que para cada$p \equiv 3 (mod \, 4).$ podríamos encontrar infinitas soluciones?

Answer 1

Si no hay restricciones en$a,b,c,d$, solo elige$c=d=0$ y esto se reduce a la ecuación de Pell$a^2 - pb^2 = 1$ que siempre tiene infinitas soluciones.

Answer 2

Según Fermat's_theorem y más en algunas obras,

Un número $ n$ es una suma de dos cuadrados si y sólo si todos los factores primos de a $ n$ de la forma $ 4m+3$ incluso han exponente en la factorización prima de $ n$.

Así que necesitamos a $p(b^2+d^2) + 1$ a ser satify la condición. Si nos choosce $b=2m, d=2n$ obtenemos $4(n^2+m^2)p +1$. Si es el primer, debe ser 1(mod 4), por lo tanto debe ser la suma de dos cuadrados,$a$$c$.

Así que no puedo prueba, pero es suficiente prueba de que:

para cualquier prime $p=4q+1$, hay infinitos números primos que coinciden $4(n^2+m^2)p +1$.

Espero que alguien lo pueda probar.