Limsup de una probabilidad

Question

Me he encontrado con las siguientes preguntas. Supongamos que $X_n \rightarrow X$ en la distribución, y $a<b$

Demostrar que $$ P( a \le X\le b) \ge \limsup_{n\to \infty}P(a\le X_n\le b) $$

Sé cómo encontrar el limsup de una v.r., pero estoy confundido sobre el concepto de limsup de una probabilidad.

Mi idea de enfocar este problema es que, podemos considerar el evento de $X$ estar dentro de $[a,b]$ y si podemos demostrar que el $\lim\sup$ de este evento es un subconjunto del propio evento, la desigualdad se mantendría, pero me preocupa si estoy mezclando la idea de $\lim\sup$ del evento y $\lim\sup$ de la variable aleatoria. ¿Sería alguien tan amable de darme alguna pista?

Answer 1

Sugerencia :

Si $\:\epsilon>0\:$ y $\:F_{X}\:$ es continua en $\:a-\epsilon\:$ y $\:b+\epsilon\:$ entonces: $$\limsup_{n\to\infty}P\left(a\leq X_{n}\leq b\right)\leq\limsup_{n\to\infty}P\left(a-\epsilon<X_{n}\leq b+\epsilon\right)=F_{X}\left(b+\epsilon\right)-F_{X}\left(a-\epsilon\right)$$

Puede tomar $\epsilon$ tan pequeño como se quiera, ya que el conjunto de elementos a los que $F_X$ es no continua es contable.

Answer 2

Las probabilidades son números, por lo que "viven" en $\mathbb R$ En realidad, en $[0,1]$ Así que $(P(a\le X_n\le b))_{n\in\mathbb N}$ es una secuencia de números reales (por lo que todo lo que sabes sobre este tipo de secuencias se aplica aquí). Como usted dice correctamente, el $\lim \sup$ de conjuntos es algo diferente. Se trata de nuevo de un conjunto, no de un número.

Esta pregunta se refiere a una aplicación directa (o prueba de ) la Lema de Portmanteau que dice que la convergencia en la distribución implica (y está implícita) $$\lim_{n\to \infty}\sup{P(X_n \in C)} ≤ P(X \in C) \quad \text{for all closed sets } C$$ Desde entonces, $[a,b]$ es un conjunto cerrado, entonces se puede llegar a la conclusión mediante una aplicación directa del lema de Portmanteau. (En caso contrario, si hay que demostrarlo por sí mismo, como el enunciado se da con total generalidad (sin restricciones de $F$ ) Te sugiero que consultes un/todos los libros de texto. La prueba no es difícil, pero utiliza algunas herramientas estándar: convergencia dominada, etc., así como algunas otras equivalencias antes de demostrar ésta).