Encontrar la primera descomposición de $(2) $ $\mathbb Z\left[ \frac{ 1 + \sqrt n }{2 } \right]$

Question

Que $n$ ser un número entero tal que $ n \equiv 1 $mod $4$.

Que $\mathbb Z \left[ \frac{ 1 + \sqrt n }{ 2} \right]$ ser nuestro anillo. Sea $(2)$ el ideal generado por $2$.

¿Cuál es la primera descomposición de $(2)$ $\mathbb Z \left[ \frac{ 1 + \sqrt n }{ 2} \right]$?

Answer 1

Que ${\cal O}_K$ el anillo de enteros de $K=\Bbb Q(\sqrt{m})$ ($m$ cualquier entero squarefree). Entonces el % ideal $2{\cal O}_K$Factoriza como sigue:

• $2{\cal O}_K=(2,\sqrt{m})^2$ Si $2|m$
• $2{\cal O}_K=(2,1+\sqrt{m})^2$ Si $m\equiv3\bmod4$,
• $2{\cal O}_K=(2,\frac{1+\sqrt{m}}2)(2,\frac{1-\sqrt{m}}2)$ Si $m\equiv1\bmod8$,
• $2{\cal O}_K$ es primo si $m\equiv5\bmod8$.

Una vez que se dan estas descomposiciones, demostrando que es un ejercicio simple.

Tenga en cuenta que a veces los ideales en la descomposición pueden ser realmente principales (generado por un elemento). Esto obviamente sucede cuando ${\cal O}_K$ es un PID.