Anualidad que paga $t^2$ en el tiempo $t$ vencido anualmente.

Question

Se me pide demostrar que una renta de anualidad para $n$ años se expresará como,

$$\frac{2(Ia)_{\bar n|} - a_{\bar n|}-n^2u^{n+1}}{1-u}$$

donde $u=\frac{1}{1+i}$ e $i$ es la tasa de interés efectiva anual.

Entonces, esencialmente la suma

$u+4u^2+9u^3+...+nu^n$. Mi idea fue $u+(2u^2+2u^2)+(3u^3+3u^3+3u^3)+...$ y hacer una serie de anualidades con las que estamos familiarizados, por ejemplo, anualidad creciente, anualidad inmediata, pero esto solo lo hizo súper complicado. Pero no puedo pensar en ninguna otra forma que pueda llevar a resolver esto.

¿Alguna ayuda? ¿Alguien sabe cómo probar esto?

Muchas gracias

Answer 1

Respuesta:

Denotemos tal anualidad como $\bar S$.

Luego $$\bar S = u + 4u^2 + 9u^3 +\cdots +n^2u^n \tag{1}$$ Ahora multiplica (1) por u ,

$$u\bar S = u^2 + 4u^3 + 9u^4 +\cdots +n^2u^{n+1} \tag{2}$$

Resta (1)-(2),

$$(1-u)\bar S = u+3u^2+5u^3+7u^4+\cdots+(2n-1)u^n - n^2u^{n+1}$$

$$(1-u)\bar S = (2u-u)+(4u^2-u^2)+(6u^3-u^3)+\cdots+(2nu^n-u^n) - n^2u^{n+1}$$

$$ (1-u)\bar S = 2(u+2u^2+3u^3+\cdots+nu^n)-(u+u^2+u^3+\cdots+u^n)-n^2u^{n+1}$$

Los términos en el primer paréntesis constituyen una anualidad creciente con P = 1 y D = 1 y los términos en el siguiente paréntesis constituyen una anualidad inmediata. Así que si reorganizas los términos, obtienes

$$(1-u)\bar S = 2(Ia)_{\bar n|} - a_{\bar n|}-n^2u^{n+1}$$

$$\bar S = \frac{2(Ia)_{\bar n|} - a_{\bar n|}-n^2u^{n+1}}{1-u}$$