Determinación del grupo multiplicativo de un anillo de polinomios

Question

Digamos que tenemos el anillo de polinomios R[x]. ¿Sería posible determinar el orden del grupo multiplicativo de R[x] módulo a un polinomio f?

Answer 1

Existe un equivalente del teorema de Euler para los polinomios:

Teorema: (Teorema de Euler para polinomios).

Dejemos que $m \in K[x]$ , donde $K$ es un campo finito, y sea $$\varphi(m) = \#\{f \in K[x] : 0 <= deg(f)< deg(m) \text{ and } gcd(f, m) = 1\}$$ Dónde $\#(A)$ denota el cardinal del conjunto $A$ hasta una multiplicación por una constante ( $f$ y $af$ con $a\in K$ se cuentan una sola vez). Entonces, para cualquier $f \in K[x]$ con $gcd(f, m) = 1$ , $$f^{\varphi(m)}= 1 (\mod m)$$

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