En caso de que no esté familiarizado con un fullhouse es cuando tienes XXXYY (tres de una clase + un par).
No soy muy bueno calculando probabilidades, pero con el tiempo consigo escribir todas las combinaciones posibles:
Sin embargo, no puedo trasladarlo a las probabilidades reales, mis preguntas:
Hay $\binom{52}{5}$ formas de elegir $5$ tarjetas de $52$ . Todas estas formas son igualmente probable . Ahora contaremos el número de manos con "full".
Para una casa llena, hay $\binom{13}{1}$ formas de elegir el tipo que tenemos tres. Para cada de estas formas, las tarjetas reales pueden ser elegidas en $\binom{4}{3}$ formas. Para cada forma de llegar hasta aquí, hay $\binom{12}{1}$ formas de elegir el tipo que tenemos dos, y para cada una hay $\binom{4}{2}$ formas de elegir las cartas reales. Así que nuestra probabilidad es $$\frac{\binom{13}{1}\binom{4}{3}\binom{12}{1}\binom{4}{2}}{\binom{52}{5}}.$$
Observación: Hemos utilizado coeficientes binomiales sistemáticamente, incluso cuando existía una expresión más sencilla. Por ejemplo, es evidente que hay $13$ formas de elegir el tipo que tenemos tres.
A calcular el coeficiente binomial $\binom{n}{k}$ un procedimiento razonablemente eficaz, una forma no demasiado mala, cuando $k$ no es grande, es utilizar $$\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}.$$ Para $\binom{52}{5}$ el numerador es $(52)(51)(50)(49)(48)$ y el denominador es $(5)(4)(3)(2)(1)$ .
Se puede utilizar un procedimiento similar para encontrar las probabilidades de las demás manos de póquer estándar. El único lugar donde un error es bastante común es la probabilidad de dos pares.
Por ejemplo, para contar el número de manos de un par, haz esto. La clase de la que tenemos un par se puede elegir en $\binom{13}{1}$ formas, y para cada una de estas formas las tarjetas reales pueden ser elegidas en $\binom{3}{2}$ formas. Ahora bien, los tres tipos de los que tenemos uno cada uno pueden ser elegidos en $\binom{12}{3}$ formas, y las tarjetas reales pueden ser elegidas en $\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$ formas, para un total de $\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3} \binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$ .
El árbol que ha dibujado tiene cada estado en el que se produce una elección aleatoria como un nodo interno, cada arista ponderada por la probabilidad de descender de un estado a otro, y cada resultado final como una hoja. Para hallar la probabilidad de un resultado final concreto, se tomaría el producto de las probabilidades a lo largo del camino desde la raíz hasta esa hoja. Por ejemplo, la probabilidad de [XYZ] (uno de los muchos resultados "malos") es $\frac{52}{52}\times\frac{48}{51}\times\frac{44}{50}$ . Para encontrar la probabilidad de un clase de resultado, se sumarían estos productos sobre todos los nodos hoja de esa clase (por ejemplo, todos los etiquetados como "buenos").
Tienes razón al señalar que no es la forma más eficiente de obtener el resultado. La clave es que si no te importa el orden en el que vienen las cartas, no tienes que calcular la probabilidad de cada evento ordenado por separado. En su lugar, puedes contar el número de manos "buenas" y dividirlo por el número total de manos (todas ellas igual de probables) para llegar a la probabilidad que desea. En este caso, el número de manos buenas es simplemente $13\times 4 \times 12 \times 6=3744$ (el # de rangos para el tres-de-uno-tipo, por el # de maneras de elegir tres palos para el tres-de-uno-tipo, por el # de rangos restantes para la pareja, por el # de maneras de elegir dos palos para la pareja). El número total de manos es ${{52}\choose{5}}=2598960.$ Así que la probabilidad de un pleno es $$ \frac{3744}{2598960} = 0.001440576... $$ Sin embargo, el método que debe utilizar depende de su aplicación. Para calcular la probabilidad de que dos cartas formen una pareja, por ejemplo, el método del árbol (la segunda carta coincide con la primera con probabilidad $3/51=1/17$ ) es más sencillo que el método de recuento (el número de pares es $13\times 6=78$ dividido por el número de manos de dos cartas ${52\choose{2}}=1326$ , da $78/1326=1/17$ ).
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