¿Cuál es el menor número entero positivo de la forma $30x+6y+10z$ ?

Question

Estoy tratando de encontrar el menor número entero positivo de la forma

$30x+6y+10z$ , donde $(x,y,z)\in\mathbb{Z}$

Sin embargo, no sé por dónde empezar. Se agradecen los consejos o las respuestas. Gracias.

Answer 1

Una pista: El número entero tiene que ser par (¿ves por qué?). $6$ Sí. ¿Puedes conseguir $4$ o $2$ ? Si puede generar $2$ ya está hecho.

Answer 2

Desde $\mathbf Z$ es un PID, es el gcd de 30, 6 y 10 - 2.

Answer 3

Sugerencia $\ $ El conjunto $\rm\,S\,$ de enteros de la forma $\rm\,a_1\,x_1 + \cdots + a_k x_k,\ x_i\in \mathbb Z,\,$ es cerrado bajo la resta por lo que, por este lema cada positivo $\rm\,n\in S\,$ es divisible por $\rm\,d = $ menos positivo $\rm\in S.\,$ Ahora $\rm\,a_i\in S$ $\,\Rightarrow\,$ $\rm d\mid a_i,\,$ es decir $\rm\,d\,$ es un común divisor de todos los $\rm\,a_i,\,$ necesariamente el más grande : $\rm\ c\mid a_i$ $\Rightarrow$ $\rm\,c\mid d = a_!\,x_1\!+\!\cdots\!+\!a_k x_k$ $\Rightarrow$ $\rm\,c\le d.$

Nota: $\ $ Esta es la forma general de La identidad de Bezout para el gcd.

Answer 4

Ver que $30 - 10 - 3\cdot 6 = 2 (= 2\cdot 10 - 3\cdot 6 = 2\cdot 6 - 10)$ .
Obsérvese también que, en general, siempre existe una combinación lineal entera de $\{x,y,z\}$ tal que $$\lambda_1 x+ \lambda_2 y + \lambda_3 z = \gcd(x,y,z)$$ Desde $\gcd(30,10,6) = 2 \ne 1$ sabemos que $2$ es de hecho el menor número entero posible. $\gcd(x,y,z)$ será siempre el menor número entero positivo de esa forma en general, esto se conoce como El lema de Bézout .