integrales de campos vectoriales que producen vectores, no escalares

Question

Cuando traté de pensar en cómo respondería esta pregunta Me di cuenta de que nunca en mi plan de estudios se me pidió que calculara la integral de superficie o de línea de un campo vectorial. I no significa que nunca me han pedido que calcule el flujo o circulación de un campo (es decir, el campo punteado con la normal de la superficie, en el caso de una integral de superficie, o el campo punteado con un vector tangente, en el caso de una integral de línea). Quiero decir que nunca me han pedido que calcule cosas como $$\int_Sfd\mathbf{S}, \int_S \mathbf{f}dS, \int_c\mathbf{f}\times d\mathbf{r}$$ (donde los vectores están en negrita y los escalares no). Tengo dos preguntas:

1. ¿En qué contextos surgen este tipo de integrales -integrales de campos vectoriales que dan lugar a un vector en lugar de un escalar-?
2. ¿Por qué nunca se encuentran integrales como éstas en un curso estándar de cálculo vectorial de grado? (No se me ocurre ningún libro de texto donde pueda encontrarlas. Si puedes, por favor, menciónalo).

NOTA: Soy no preguntando cómo hacer estas integrales; me doy cuenta de que puedes calcularlas por componentes.

Answer 1

Estos escenarios multidimensionales surgen en pdes, tomemos por ejemplo las ecuaciones de navier stokes:

$\rho(\frac{\partial v}{\partial t}+v\cdot\nabla v)-\mu\Delta v+\nabla p=f(x)$

Este sistema de ecuaciones en definido en $\Bbb R^n$ y su derivación se basa en la integración de campos vectoriales.