Dado una ecuación diferencial $y' = (1/x)(y^2 + y^3)$.
Mi pregunta es cómo uno va sobre encontrar las soluciones de esta ecuación diferencial algebraicas sobre el campo $\Bbb{C}(x)$, si alguna.
Notación - $\Bbb{C}(x)$ es el cociente de $\Bbb{C}[x]$.
Respuesta
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Michael Steele
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Si usted tiene una expresión algebraica de la solución, a continuación, usted tiene un polinomio irreducible $P(x,y) \in \Bbb C[x,y]$ tal que $P(x,y) = 0$.
Diferenciando con respecto a $x$ da $x (dP/dx) + (y^2+y^3) (dP/dy) = 0$ siempre $P(x,y)=0$, y por lo $x (dP/dx) + (y^2+y^3) (dP/dy) = QP$ para algunos polinomio $Q$.
Ahora, si nos fijamos en los grados, $Q$ tienen un grado $0$ $x$ y tiene un grado en la mayoría de las $2$$y$, lo $Q = a+by+cy^2$
La evaluación en $x=0$ obtener $(y^2+y^3) dP/dy (0,y) = Q(y)P(0,y)$ que obliga a $a=0$ (o $P(0,y) = 0$, lo que obliga $P(x,y) = \lambda x$ que no es una solución interesante).
La evaluación en $y=0$ obtener $xdP/dx(x,0) = 0$, lo $P(x,y)=\lambda y$ o $P(x,0)$ es una constante distinto de cero.
En ese caso, volviendo a la $x=0$ ecuación obtenemos que $c$ tiene que ser un entero positivo, $P(0,y) = \lambda (1+y)^c$$Q(y) = cy^2$.
Deje $P_k(y)$ ser el coeficiente de $x^k$. A continuación, cada una de las $P_k$ ha de satisfacer la ecuación diferencial $(y^2+y^3)P_k' = (cy^2-k)P_k$, el cual no tiene un valor distinto de cero el polinomio solución para $k>0$ (solo mira el coeficiente distinto de cero de menor grado). Por lo tanto,$P = \lambda (1+y)^c$. Desde $P$ es irreductible, debemos tener $c=0$ o $c=1$.
Por lo que el polinomio irreducible de soluciones de la ecuación son los múltiplos de $1,X,Y$, e $1+Y$. Por lo tanto las únicas soluciones algebraicas son las dos constantes de soluciones.
